法律分析：要想证明工伤责任主体存在重大的或明显过错，需要满足以下条件：一、必须是工伤事故；二、责任主体必须是用人单位；三、责任主体存在重大的或明显过错。
法律依据：
1.《工伤保险条例》第七条规定，发生工伤事故，应当按照本条例的规定认定和处理。
2.《劳动合同法》第四十四条规定，用人单位应当履行下列义务：（七）提供符合国家标准、行业标准及安全生产要求的劳动条件和必要的劳动防护设施；
3.《侵权责任法》第十七条规定，侵权人有过错的，应当承担侵权责任。
4.《民法典》第十四条规定，遭受侵害的人请求采取必要的措施制止侵害或者排除妨碍，有权要求侵害人承担损害赔偿责任。
以上法律依据说明，用人单位在提供劳动条件和必要的劳动防护设施时应符合国家标准、行业标准及安全生产要求，否则存在重大的或明显过错。当事人在提起工伤责任主体存在过错的诉讼时，可以参考以上法律规定，并向法院提供相关证据进行证明。
总之，如何证明工伤责任主体存在重大的或明显过错需要满足一定的条件，并进行充分的证据证明。
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