数论学习收获与体会

走近数学王国

------数论学习收获与体会

这学期我们在XX老师的引领指导下学习了初等数论这门课。光阴如水，韶华易逝，转眼间，我们已完成了这门课的学习，又到了一段时光的终结，又是一个总结的时刻。

学习收获与体会

第一章我们学习了整数的惟一分解定理。学习了整除的定义，又由整除的定义出发，给了几条性质，其中我印象最为深刻的是：如果c|a,c|b,则对任意的整数m,n,有c|ma+nb。又给了一个定理：设a，b是两个整数，其中b>0,则存在两个唯一的整数q和r，使得a=bq+r，0<=r第二章我们学习了同余式。由同余的定义我们可知道它是一种自反，对称，传递的关系，是一种等价关系。抽象代数中的同余与等价关系的定义也是由数论衍生出来的，可见数论在数学界的举足轻重的地位。我觉得比较经典的定理是：如果a和b对模数m同余，则f（a）和f（b）对模数m同余，其中f（x）为任意给定的一个整系数多项式。关于完全剩余系我觉得比较经典的定理是：设m1>0,m2>0,(m1,m2)=1,而x1，x2分别通过模数

m1，m2的完全剩余系，则m2x1+m1x2通过模数m1m2的完全剩余系。我觉得这个定理的出现便给了我们一种由两个模数互素的完全剩余系推演模数为那两个模数乘积的完全剩余系的方法。缩系是在与模数m互素的全部剩余类中，各取一数所组成的集合。说到缩系，就不得不提欧拉函数，欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数，它的值等于序列0,1,2，„„，n-1中与n互素的数的个数。因此，模数m的一组缩系含有欧拉函数个数。当p是素数时，欧拉函数=p-1。缩系的很多性质与定理和完全剩余系都是类似的，一些问题的证明方法也大体相同。由缩系的相关性质推出了费马小定理，它是后面内容学习的基础。设n的标准分解n=p1^a1*p2^a2„„pk^ak,则欧拉函数=n(1-1/p1)„„(1-1/pk)。我特别喜欢这个定理。一次同余式偏于计算与实践，它是基于之前的费马小定理推算出来的。孙子定理中我印象比较深刻的是：一次同余组x≡b1（mod m1），x≡b2（mod m2）

可解的充分必要条件是（m1，m2）|b1-b2，且当其可解时对模数 [m1,m2]有唯一解。

第四章我们学的是二次剩余。二次剩余是判断二次同余式是否有解的方法。勒让德符号：设p为奇素数，（p，n）=1，令 （n/p）=1,若n是模数p的二次剩余，=-1，若n是模数p的二次非剩余。高斯利用他证明出来的高斯引理证明了二次互反律：设 p>2,q>2是两个素数，p不等于q，则（p/q）(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4)。 计算勒让德符号，需要把n分解成标准分解式，常常很麻烦，为了避开这个缺点，引进了雅可比符号。

第五章我们学习了原根。我非常喜欢的定理是：设a对数m的次数为l，y>0,a^y对模数m的次数为l1，则l1=l/(y,l)。原根这的知识与欧拉函数还有缩系有密切关系。如果g是m的一个原根，那么模数m的一组缩系可表示成一组几何级数，这一点非常有用。但并非所有的正整数都有原根，若m有原根，则m 必为下列诸数之一：2,4，p^l,2p^l,这里l>=1,p为奇素数。我觉得这个定理极其重要，并且有高度的概括性。

第六章我们学了素性判别方法。他们分别是费马判别法，莱梅判别法，还有solovay—strassen判别法。他们都凝结了一代又一代数学家的心血，同时又有着非常广泛的应用。

对数论的理解与学习过程问题总结

数论，顾名思义，就是，对数的讨论，而更多地是对整数的讨论，尤其是整数的讨论。

其实，我们从小学到高中很多数学内容都与数论有着密不可分的联系，如解方程问题，如分解质因数，如果说数学是一切自然科学的本源，那么数论便是数学的本源。数论是数学王国的众多柱子之一，他们共同支撑着科学的宝殿。虽然支持科学的支柱很多，但缺少任何一个都是万万不可以的，尤其是数论。

在学习数论的过程中我曾三次感到迷茫，无力，怅惘。 第一次是在刚刚开始学数论的时候，虽然我能理解整除性，也能理解辗转相除法，也能理解素数，整数的唯一分解定理，也能理解厄拉多塞筛法，虽然老师讲的很仔细，很系统，生怕我们掉队，但我只能理解老师讲的内容，讲时我能懂，但课后自己思考就非常迷茫，不会做题，上习题课时老师一讲，才能如梦初醒。那时，老师很努力的想把知识传授给我们，我却没努力接收。我意识到，必须得下大力度学习数论了，于是我把老师上课黑板上写的定理，性质课后都尝试自己去做，这个过程很艰难，有的一憋就是一小时，但我克制住自己去看答案或是详解的欲望，苦苦的思考，这个苦苦的过程持续了很长时间。终于，老师留的习题，我有的能独立做出来了。初识数论的第一次危机就在我付出很多心血后得以化解。

第二次是在学二次剩余的时候，在我成功化解第一次数论危机之后，坦诚的说，我略有懈怠，虽然上课也认真听讲，但课后不那么刻苦了。当二次剩余当来之后，我发现它和之前学的大不一样，之前学的都是一次的，但这个是二次的，还突然冒出来

很多公式，于是我第二次陷入深深的迷茫。我深刻地意识到，如果我不能战胜二次剩余，那我的数论学习将一塌糊涂。于是我又花了很大的心血学习，主要是理解证明最基本的定理性质，尝试自己证，推得相关公式。我觉得任何一门数学，它的核心都在于定理的证明和相关性质的证明，很多时候我们或许会把精力花在做题还有背公式还有学习公式运用技巧上。我觉得其实每个定理才是最最经典的题，它的证明是非常非常有数学内涵的，尝试自己去证是最直接最有效的方法。在高中学习三角函数时，有很多公式，很难搞定，我花了很大心血去研究公式的推导过程，最后终于理解了单位圆才是三角函数的本源，只要画出一个单位圆，所有三角函数公式都呼之欲出，所有三角函数问题都迎刃而解。数论中二次剩余的核心就是n^((p-1)/2),判断它模p等不等于1，从而判断方程有没有解。二次剩余的解法和解数问题的相关公式就是基于这个公式，加第二章学的同余的相关知识，加wilson定理推导的。所以我觉得n^((p-1)/2)对于二次剩余就相当于单位圆相比于三角函数。一旦把n^((p-1)/2)的相关原理性质搞透彻，这一章的问题就迎刃而解了。

我觉得比较有意思的事是利用二次剩余的性质竟然可以去证素数的无穷性，这个我觉得很奇妙，很有趣。另外一个我觉得比较好玩的事是孙子剩余定理，说不出为什么，第一眼看这个定理我就特喜欢这个定理，人和人之间能不能一见钟情我不太清楚，但我相信人和定理是可以一见钟情的，孙子剩余定理喜不喜

欢我，我无从知晓，但我很喜欢孙子剩余定理。我还特别喜欢二次互反律，它的对称性着实很美感。

第三次危机，说实话，是期末了，要考试了，我发现有很多题不会，很惆怅，很害怕。在12月31号，下了数论课，我便回宿舍写结合每一章的内容写数论感想，在写感想的过程中我发现很多定理性质我都忘了，我很慌张。于是在元旦那一天，我8点起床，奔赴自习室，学了一天数论，结合老师发在群里的答案还有我之前做的，把所有留过的作业题都重新做了一遍。每一道题都是先自己思考一下，若不会，则至少再思考10分钟，若再不会才看答案。在接下来的日子里，由于还有很多别的科目要考，我每天保证学1小时数论，学习内容就是各章定理内容。终于条理清晰了不少。

无论是学习基础学科，还是做学问，我觉得最重要的是心静如水与持之以恒，就是一定要坚定的真真正正地深入的学习。 曾经一个非常好的初中老师总耐心地教导我们说：“只有踏踏实实沉下去，才能潇潇洒洒浮上来。”我一直把这句话作为我学习的准则，但从未真真正正地做到踏踏实实，我还要修炼自己，改变自己，改善我的学术风格。

这学期的数论学习让我走近了数学王国，我将更加努力学习相关基础知识，为了早日能走进数学王国，走进信息安全的王国，并将这个王国里的美妙的事物拿出来为国效力。

最后真诚感谢XX老师这一学期的辛苦耕耘，提前祝您春

节愉快，衷心祝福您和您的家人幸福快乐，平安美满。