2012考研数学一真题及答案

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请

将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2x(1) 曲线y2渐近线的条数 ( )

x1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数y(x)(ex1)(e2x2)(enxn),其中n为正整数,则y(0) ( )

(A) (1)n1(n1)! (B) (1)n(n1)! (C) (1)n1n! (D) (1)nn! (3) 如果函数f(x,y)在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )

(A) 若极限limx0y0f(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微

xyf(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微 22xyf(x,y)存在

xyf(x,y)存在 22xy(B) 若极限limx0y0(C) 若f(x,y)在(0,0)处可微,则 极限limx0y0(D) 若f(x,y)在(0,0)处可微,则 极限limx0y0k(4)设IKexsinxdx(k1,2,3)则有 ( )

02(A)I1I2I3 (B) I3I2I1 (C) I2I3I1 (D)I2I1I3

0011(5)设10,21 ,31 ,41 ,其中C1,C2,C3,C4为任意常数，则下列向量组线性相关的

CCCC1234为( )

(A)1,2,3 (B) 1,2,4 (C)1,3,4 (D)2,3,4

100(6) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且p1AP010.若P=（1,2,3），(12,2,3)002，则

Q1AQ ( )

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100100200200(A) 020(B) 010(C) 010(D)020

001002002001(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则pXY( )

(A)

1124 (B) (C) (D) 535511 (C)  (D)1 22(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )

(A) 1 (B)

二、填空题：9

14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

(9)若函数f(x)满足方程f''(x)f'(x)2f(x)0及f''(x)f(x)2e，则f(x) (10)

20x2xx2dx=

z(11)grad(xy+)|(2,1,1) y(12)设x,y,zxyz1,x0,y0,z0，则yds

2(13)设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵EXX的秩为 (14)设A,B,C是随机变量，A与C互不相容，pABT11,PC,pABC 23三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步．．．骤.

(15)

1xx2cosx1(1x1) 证明xln1x2(16)

求函数f(x,y)xe(17)

x2y22的极值

4n24n32n求幂级数x的收敛域及和函数

2n1n0(18)

xf(t),已知曲线L:ycost(19)

(0t且f(0)0,f'(t)0(0t).若曲线L的),其中函数f(t)具有连续导数，

22切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。 已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y22x到点(2,0)，再沿圆周x2+y24到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分J

L3x2ydx(x3x2y)dy

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(20)(本题满分 分)

1a00101a0,1 设A0001aa0010（I）计算行列式A;

(II)当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解。 (21)

10已知A100111，二次型f(x1,x2,x3)xT(ATA)x的秩为2 0aa1（1）求实数a的值；

（2）求正交变换xQy将f化为标准型. （22）

设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为

0 1 0 2 0 1 2 （Ⅰ）求PX2Y； （Ⅱ）求Cov(XY,Y). (23)

1 4 0 1 4 0 1 3 0 1 121 12设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(u,2)与N(u,22)，其中是未知参数且0。设ZXY.

(1)求Z的概率密度f(z,2); （2）设z1,z2,,zn为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量2

（3）证明2为2的无偏估计量

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