单元测试(二) 二次函数
(满分：120分 考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.下列各式中，y是x的二次函数的是(B)
1
A．xy＋x2＝1 B．x2－y＋2＝0 C．y＝2 D．y2－4x＝3
x2．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(C)
A．y＝(x＋1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋4 C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋4
1
3．下列关于二次函数y＝－x2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是
2y轴；④顶点坐标为(0，0)．其中正确的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
4．将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为(A)
A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－3
C．y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3 5．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
x y … … －3 －3 －2 －2 －1 －3 0 1 … … －6 －11 则该函数图象的对称轴是(B) A．直线x＝－3 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝0
6．在求解一元二次方程x2－2x－2＝0的两个根x1和x2时，某同学使用电脑软件绘制了二次函数y＝x2－2x－2的图象，然后通过观察抛物线与x轴的交点，得出结果．该同学采用的方法体现的数学思想是(C)
A．类比思想B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
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//
7．当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是(D)
8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)
b
A．a<0，b<0，c>0B．－＝1
2a
C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
2x
10．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)4
交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥xS△OFB轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为(A)
S△EAD
1122A.B.C.D. 6464
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
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//
11．如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1＜y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
12．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数解析式为y＝－2(x－3)2＋4．
13．二次函数y＝－x2＋2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，P为它的顶点，则S△PAB＝8． 14．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.
15．已知二次函数y＝(x－2a)2＋(a－1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝－1，a＝0，a＝1，a＝2时二次函数的图象．它们的顶点在一1条直线上，这条直线的解析式是y＝x－1．
2
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本题共2个小题，每小题5分，共10分) (1)画出函数y＝－x2＋1的图象； 解：列表如下：
x y 描点、连线如图． … … －3 －8 －2 －3 －1 0 0 1 1 0 2 －3 3 －8 … …
//
//
15
(2)已知抛物线y＝－x2－3x－，求其开口方向、对称轴和顶点坐标．
22
15151951
解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋9－9)－＝－(x＋3)2＋－＝－(x＋3)2＋2.
22222222所以，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标为(－3，2)．
17．(本题7分)已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
解：(1)∵图象过y轴上的点(0，3)，故设此二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋3， 将(－3，0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋3，得 9a－3b＋3＝0，a＝－1，
解得 4a＋2b＋3＝－5.b＝－2.∴此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3. (2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3， ∴点P(－2，3)在此二次函数的图象上．
18．(本题8分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3； (2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为1 (4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k<2． // // 19．(本题8分)如图，一次函数y1＝kx＋b与二次函数y2＝ax2的图象交于A，B两点． (1)利用图中条件，求两个函数的解析式； (2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围． 解：(1)由图象可知：B(2，4)在二次函数y2＝ax2图象上， ∴4＝a·22.∴a＝1.则y2＝x2. 又∵A(－1，n)在二次函数y2＝x2图象上， ∴n＝(－1)2.∴n＝1.则A(－1，1)． 又∵A，B两点在一次函数y1＝kx＋b图象上， 1＝－k＋b，k＝1，∴解得则y1＝x＋2. 4＝2k＋b.b＝2. ∴一次函数解析式为y1＝x＋2，二次函数解析式为y2＝x2. (2)根据图象可知：当－1 20．(本题8分)如图，已知抛物线y＝a(x－1)2－3(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，－2)，顶点为B. (1)试确定a的值，并写出B点的坐标； (2)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值． 解：(1)将A(0，－2)代入y＝a(x－1)2－3， ∴－2＝a－3，∴a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3. ∴顶点B(1，－3)． // // (2)设点A关于x轴对称的点为C， ∴C(0，2) 设直线CB的解析式为y＝mx＋n，直线CB与x轴交于点P，此时△PAB的周长取最小值， 把C(0，2)和B(1，－3)代入y＝mx＋n， 2＝n，m＝－5，∴解得 －3＝m＋n，n＝2.∴直线CB的解析式为y＝－5x＋2. 2令y＝0，代入y＝－5x＋2，∴x＝. 52 ∴点P的坐标为(，0)． 5 20 21．(本题10分)在一次篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮．已知球出手时离地面 m， 9与篮圈中心的水平距离为7 m，球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？ 20 解：(1)由题意知，抛物线的顶点为(4，4)，经过点(0，)． 9201 设抛物线解析式为y＝a(x－4)＋4，代入(0，)，解得a＝－， 99 2 1 ∴y＝－(x－4)2＋4. 9 1 当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3，∴一定能准确投中． 9 1 (2)当x＝1时，y＝－×(1－4)2＋4＝3＜3.1，∴队员乙能够成功拦截． 9 // // 22．(本题12分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x(天) 售价(元/件) 每天销量(件) 1≤x＜50 x＋40 50≤x≤90 90 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． (1)求出y与x的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2 000. 当50≤x≤90时，y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12 000. 2 －2x＋180x＋2 000（1≤x<50）， 综上所述：y＝ －120x＋12 000（50≤x≤90）. (2)当1≤x＜50时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝45， ∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2 000＝6 050. 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小， ∴当x＝50时，y最大＝6 000. ∵6 050＞6 000，∴销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6 050元． 23．(本题12分)综合与探究： 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B. (1)求点B的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角 // // 形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D.∵A(0，2)，C(－1，0)，∴OA＝2，OC＝1. ∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，∴∠BCD＝∠CAO. 又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，∴△BCD≌△CAO(AAS)． ∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2.∴点B的坐标为(－3，1)． (2)抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)， 1 则1＝9a－3a－2，解得a＝， 2121 ∴抛物线的解析式为y＝x＋x－2. 22 (3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形． ①若以点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1， 过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°， ∴△MP1C≌△DBC(AAS)． 11 ∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，∴P1(1，－1)．当x＝1时，y＝×1＋×1－2＝－1，符 22合题意． ②若以点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2， 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO， 11 ∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，∴P2(2，1)．当x＝2时，y＝×4＋×2－2＝1，符合题 22意． ③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP＝AC时，点P可能在y轴右侧，即点P2；点P也可能在y轴左侧，即点P3.过 // // P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO， ∴GP3＝OA＝2，AG＝OC＝1， 11 ∴P3为(－2，3)．当x＝－2时，y＝×4－×2－2＝－1≠3，不符合题意． 22 综上所述，存在点(1，－1)与(2，1)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形． // 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容