求导数的简单方法

求导数的简单⽅法

这⾥我们要讨论的是⾮常重要的议题——求导数.求导数是⼀件有趣的事情，⽽且求导数的各种基本技巧并不难掌握.⼀、导数的基本公式和基本法则

没什么可说的，就像你记住“⾏⼈要⾛斑马线”、“不要随地吐痰”⼀样，要把这些公式法则记得滚⽠烂熟、倒背如流.⼆、幂函数的导数

这个幂函数的导数公式英⽂名字叫：power rule ，很有⽓势吧.

式⼦⾥的n 可以是任何数字，既可以是正数，也可以是负数，还可以是分数，甚⾄可以是π跟2之类的⽆理数.例如：233)(x x dx

d =； 1)(1=x dx d （这是⼀个特例）； 322)(---=x x dxd ； 22111)()1(x x x dx d x dx d -=-==--； 21212

1)()(-==x x dx d x dx d ； 1)(-=πππx x dx d 三、乘积的导数

两个函数的乘积的导数，等于第⼀个函数的导数乘以第⼆个函数，加上第⼆个函数的导数乘上第⼀个函数.

假设f(x)=g(x)=x x x x x x x x x x dx d 2))(()()())((=+='+'= 符合前⾯幂函数的导数公式.四、商的导数我们还想求g

f 这样的分式的导数，其中f 和g 是两个函数.

这个公式不⼤容易记住，需要你多看⼏遍，分⼦的形式和乘积的导数类似，不过是减号，牢记在上⾯的函数优先求导，分⼦由⼀个函数增加到4个，变沉了，那么分母需要增加⼀个g ，才能抗得住，因此是g 的平⽅.五、三⾓函数的导数

这两个公式必须牢记，都可以从这两个基本公式推导出来.

对于这两个公式，你可能不容易记住哪⼀个的前⾯有负号.我的建议是，你只要记住“正弦函数求导后还是正的”，那么意味着余弦函数求导后就要变号了.

我们在⽤导数定义来证明上⾯这两个导数公式时，需要⽤到下⾯的重要极限公式：

例如x x x x x x x x x x x x x x x x x dx d x dx d 2222222

sec cos 1cos sin cos cos sin sin cos cos )(cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan ==+=+='-'==因为这个正切函数的导数经常出现，所以值得把它背下来：

其他的三⾓函数似乎不需要去背，因为它们都很容易推导出来.

正如余弦函数的导数出现了负号，其他两个以“余”开头的三⾓函数，也就是余割及余切，求导后也要加负号.六、对数函数的导数

我们在⽤导数定义来证明上⾯这个导数公式时，需要⽤到另⼀个重要极限公式：

特别地，当a=e 时，1log =e a ，于是得到⾃然对数的导数：