2019年高考真题理科数学(全国卷Ⅰ含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MIN= A．{x4x3

B．{x4x2 C．{x2x2

D．{x2x3

2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A．(x+1)y1

22B．(x1)y1 C．x(y1)1 D．x(y+1)1

222222alog20.2，b20.2，c0.20.3，则 3．已知 A．abc

B．acb

C．cab

D．bca

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（

51≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人2体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分2割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm 5．函数f(x)=

B．175 cm C．185 cm D．190cm

sinxx在[,]的图像大致为 2cosxx

B．

A．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．

5 16B．

11 32C．

21 32D．

11 167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为 A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 68．如图是求

121212的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=

1 2AB．A=21 AC．A=

1

12AD．A=11 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则 A．an2n5

an3n10 B． 2C．Sn2n8n

D．Sn12n2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若

|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为

x2y21 A．2x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．5411．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（

2,）单调递增

③f(x)在[,]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④

B．②④

④f(x)的最大值为2

C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，

E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．86

B．46

C．26

D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y3(xx)e在点(0，0)处的切线方程为____________．

2x214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则S5=____________．

1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛

结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Cabruuuuruuuruuuruuu的两条渐近线分别交于A，B两点．若F，F1BF2B0，则C的离心率为1AAB____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)

22B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)sinAsinBsinC． △ABC的内角A，

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC． 18．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19．（12分）

已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

2

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点2uuuruuur（2）若AP3PB，求|AB|．

20．（12分）

已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明： （1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 21．（12分）

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为

2i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，

piapi1bpicpi1(i1,2,L,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)．假设0.5，0.8．

(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，21t（t为参数）．以坐标原点O为

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y4t1t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）

111a2b2c2； abc333（2）(ab)(bc)(ca)24．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学•参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题 13．y=3x 三、解答题

17．解：（1）由已知得sinBsinCsinAsinBsinC，故由正弦定理得

22214．

121 315．0.18 16．2

b2c2a2bc．

b2c2a21． 由余弦定理得cosA2bc2因为0A180，所以A60．

（2）由（1）知B120C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，

即

6312cosCsinC2sinC，可得cosC60． 2222由于0C120，所以sinC602，故 2sinCsinC6060

sinC60cos60cosC60sin60 62． 418．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

uuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则

uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A(0,0,4)，A,3,2)，1M(1uuuuruuuurA1N(1,0,2)，MN(0,3,0)．

uuuurmA1M0m(x,y,z)uuur设为平面A1MA的法向量，则，

mA1A0x3y2z0，所以可取m(3,1,0)．

4z0．uuuurnMN0，n(p,q,r)r设为平面A1MN的法向量，则uuuu

nA1N0．所以3q0，可取n(2,0,1)．

p2r0．于是cosm,nmn2315， |m‖n|25510． 5所以二面角AMA1N的正弦值为19．解：设直线l:y3xt,Ax1,y1,Bx2,y2． 2（1）由题设得F353,0，故|AF||BF|x1x2，由题设可得x1x2．

224312(t1)yxt22由，可得9x12(t1)x4t0，则x1x2． 292y3x从而12(t1)57，得t． 928所以l的方程为y37x． 28uuuruuur（2）由AP3PB可得y13y2．

3yxt2由，可得y2y2t0． 22y3x所以y1y22．从而3y2y22，故y21,y13． 代入C的方程得x13,x21． 3故|AB|413． 320．解：（1）设g(x)f'(x)，则g(x)cosx11，g'(x)sinx.

(1x)21x当x1,一零点，

设为.

1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)0,g'()0有唯

222则当x(1,)时，g'(x)0；当x,时，g'(x)0. 2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一

22极大值点，即f'(x)在1,存在唯一极大值点.

2（2）f(x)的定义域为(1,).

（i）当x(1,0]时，由（1）知，f'(x)在(1,0)单调递增，而f'(0)0，所以当x(1,0)时，f'(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.

（ii）当x0,时，由（1）知，f'(x)在(0,)单调递增，在,单调递

22减，而f'(0)=0，f'0，所以存在,，使得f'()0，且当x(0,)22时，f'(x)0；当x,时，f'(x)0.故f(x)在(0,)单调递增，在,22单调递减.

又f(0)=0，f1ln10，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x)222在0,没有零点. 2（iii）当x,时，f'(x)0，所以f(x)在,单调递减.而

22f0，2f()0，所以f(x)在,有唯一零点.

2（iv）当x(,)时，ln(x1)1，所以f(x)<0，从而f(x)在(,)没有零点.

综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为1,0,1.

P(X1)(1)， P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1.

因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1pi0.4pipi1，即

pi1pi4pipi1.

又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2,L,7)为公比为4，首项为p1的等比数列．

（ii）由（i）可得

481p8 p8p7p7p6Lp1p0p0 p8p7p7p6Lp1p0p1 3.

由于p8=1，故p13，所以 8414411p4 p4p3p3p2p2p1p1p0p1 .

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为

0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

10.0039，此25721t24t2y1t21，且x22．解：（1）因为11，所以C的直角坐2221t221t1t22y21(x1). 标方程为x42l的直角坐标方程为2x3y110.

（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）.

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 3322222223．解：（1）因为ab2ab,bc2bc,ca2ac，又abc1，故有

a2b2c2abbcca所以

abbcca111.

abcabc111a2b2c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc1，故有

(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

3(2ab)(2bc)(2ac)

=24.

所以(ab)(bc)(ca)24.

333