分式解题中常见错误归类例析

分式是在整式运算、多项式因式分解、一元一次方程的解法基础上学习的。分式的运算与整式的运算相比，运算步骤明显增多，符号更加复杂，解法更加灵活；因而更容易出现这样或那样的错误，为了引起同行的注意，特将分式解题中常见的错误归类例析如下：

一、 分式概念不清

例1 在下面的有理式中，只有一个分式的是---------------------------------------------------（ ）

x83a2xA B a C D m2n

30ay错解1：显然B式可化为

Axay的形式，即，且B中含有字母y，所以选B， By3a2错解2：显然A、B都是整式，C 经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B；

a评析：两种错误解法，一个病根，就是把B、C两式化简后用分式定义判定结果所致，判断

3a2xxayx一个代数式属于哪一类，不能因为a，就把a叫做分式，也不能能

yyay够化成3a而叫整式；

A3a2正解：因为不经过运算，就是的形式，且B中含有字母a，所以选B；

Ba例2．当x2时，下面分式的值为零的只有一个是----------------------------------------（ ）

1x2 B x2 C 5x10 D x A

42x2xx22x2错解：因为将x2代入B的分子，其分式的值为零，故选B； 评析：错解认为“只要分子的值为零，”而忽略了“分母不为零”，事实上取x2时，分式

1本身已经没有意义；

正解：因为将x2分别代入A，发现分母不为零，分子为零，故选A；

x2例3．当x为何值时，分式的值为负？

x12错解：因为无论x取何值，x都是负数，而且当x1时，分母x10，所以，当x1时，分式的值为负。

2评析：错解只注意到分母不为零，而忽略了x0时，x0的特殊情况；

2正解：因为除0 外，无论x取什么数，x都是负数，又需x10，则只需x1，

所以，当x不等于0 和1外，分式的值为负；

二、 基本知识含混

11ab4的分子、分母中的各项系数都化为整数； 例4，不改变分式的值，把分式311ab231111ab(ab)124a3b443错解：3 11113a2bab(ab)62323评析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了

整数，但分式的值改变了；

1111ab(ab)124a3b443正解：3 11116a4bab(ab)122323a2a2例5．a为何值时，分式2无意义？

a4a3a2a2(a2)(a1)a2错解：因为2 a4a3(a3)(a1)a3评析：错解把公因式a1约取了，这等于把分子、分母同时除以一个等于零的整式，扩大了分母的取值范围，即放宽了分式成立的条件。

a2a2(a2)(a1)正解： ∵ 2 ∴ 当x3或x1时，分式无意义 a4a3(a3)(a1)例6．不改变分式

xy的值，使分子、分母的第一项系数是正号：

xyxyxy

xyxy错解：因为同时改变分子、分母的x项的负号，分式的值不变，∴

评析：根据分式的基本性质可知，同时改变分式的分子、分母的符号，分式的值不变；而错解只改变了第一项符号，显然改变了分式的值； 正解：

xy(xy)xy

xy(xy)xy符号上的错误：

三、

2x2y12xy16y例7．约分 22228y8xy2xy2y(x26x8)(x4)(2x)4x错解：原式= 222y(2x)2y(14xx)y(2x)评析：为约分须改变分子的因式x2，即[(2x)]，故分子变为(x4)(2x)，而错解

却把因式x4的符号也给改变了，事实上，分式仍然为负。

2y(x26x8)(x4)(x2)(x4)(2x)x4正解：原式= 2222y(2x)2y(14xx)y(2x)y(2x)2x23x32x3x28x8例8．计算： 2x2x4错解：原式=2x11414x21 (2x12)2x2x2x4(x2)(x2)x2x4评析：错解死记硬背课本上“把各个分式化成整式部分与分式的和”的结论，不管余式的符

号正、负与否，把整个整式部分与分式部分一律写成“”的形式，这主要对代数和的“和”的含义理解不够，“和”既有“加”又有“减”的含义。 正解： 原式=2x114142x1(2x12)2 x2x2x4(x2)(x2)x2x4四、通分时去分母

x3x2x1 例9．计算：

x1x3(x2x1)x3(x1)(x2x1)x3(x31)1 错解：原式=

x1评析：错解把分式的化简与解方程去分母混同一体，分式化简的每一步变形的依据都是依靠分式的基本性质，通分要保留分母，而不是去分母；

x3(x31)1正解：原式=

x1x1五、违背运算顺序

a2b2a22abb21例10．计算：3 322baabaabb错解：原式

(ab)(ab)(ab)21ab22=(aabb) 2222222(ab)(aabb)aabb(ab)aabb=ab

评析：乘除法是同级运算，谁在前先作谁，而不应违反运算顺序。

1(ab)(ab)a2abb21正解：原式== (ab)(a2abb2)(ab)2(ab)2(ab)3a2例11．计算：ba2错解：原式=b22b3baa

334b2aa224(a)a bba44评析：错解的第一步将除式()颠倒相乘，先算除法后算乘方，不仅两次违反“先乘方，后乘除，”运算顺序法则。

a4b6a4224正解：原式=2(3)4(a)a

bab2a21aa6a25a1)例12．计算：( 221a1a1aa12a21a212a2(1a)a21)2错解：原式=(

1a21a6a25a11a26a5a12a2a1(2a1)(a1)1a = 2(2a1)(3a1)13a6a5a1评析错解一看后面两项的分式的分母相同，就忘记运算顺序，先算后面的加法，致使减数

1aaa增加了，整个括号内的值减少了2倍的； 1a1a1a2a2(1a)2a(1a)a21]2正解：原式=[[ 2221a1a1a6a5a12a2(1a)2aa3a21 = (2a1)(3a1)1a33a1a211 = 2(2a1)(3a1)12a1a六、结果不是最简分式

4x2x12x36x24x例13．计算：

310x3x26x20x26x34x2x12x(x23x2)4x2x1x23x2错解：原式= 222310x3x2x(3103x)3103x3x22x1  2310x3x评析：由于两个二次三项式分解因式都有难度，加之错解缺乏深入细致的分析，所以对公因

式3x1视而不看，致使该式计算的结果不是最简分式；

3x22x1(3x1)(x1)x1正解：原式 2(13x)(3x)x3310x3x