一、反比例函数
1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数
（k为不等
于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．
【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b， ∴b=1，
∴一次函数解析式为：y=x+1，
∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2，
∴点A的坐标是（1，2）． ∵反比例函数 ∴k=1×2=2，
∴反比例函数关系式是：y=
的图象过点A（1，2）．
，当x＞0时，y随x的增大而减少， 而当x=1时，y=2，当
（2）解：反比例函数y=
x=6时，y= ，
∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值： ≤y≤2
【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．
2．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=
图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．
【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1）， ∵AC∥y轴，AB∥x轴， ∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y= （x＞0）图象上， ∴A（1，4）， ∴B点纵坐标为4， ∵点B在y= 的图象上， ∴B点坐标为（ ，4）；
（2）解：设A（a， ），则C（a， ），B（ ， ），
∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ， ∴S△ABC= AB•AC= × × = ，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为 ；
（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴， ∴△ABC∽△EFC，
∴ = ，即 = ， ∴EF= a，
由（2）可知BG= a， ∴BG=EF， ∵AE∥y轴， ∴∠BDG=∠FCE， 在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS）， ∴BD=EF．
【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长
可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
3．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标
是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上． （1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2； （3）求△PAB的面积． 【答案】（1）解：把x=4代入y2= 入y1=
，得k=4．
x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代
反比例函数的表达式为y1=
（2）解：∵点A与点B关于原点对称， ∴A的坐标为（﹣4，﹣1）， 观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2
（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图，
∵点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP ， ∴S△PAB=2S△AOP ． y1=
中，当x=1时，y=4，
∴P（1，4）．
设直线AP的函数关系式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
则
，
解得
．
故直线AP的函数关系式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = = =
OC•AR+ ×3×4+ ，
OC•PS ×3×1
∴S△PAB=2S△AOP=15．
【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1= ，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP ， S△PAB=2S△AOP ． 求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出S△AOP=
，则S△PAB=2S△AOP=15．
4．平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x＞0）与y2=﹣ （x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x＞0）图象上的两点，点P是y2=﹣ （x＜0）的图象上的一点，且AP∥x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
（1）求△APQ的面积；
（2）若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标； （3）若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值． 【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM 于点N，QR 矩形，如图所示：
x轴交x轴于点M，PN
x轴交x轴
AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是
∵点A的横坐标为m,且在函数 ∴点A（m, ）,点P（－m, ）, ∴MN=m-(-m)=2m,PM= , ∴S矩形PMNA＝2m╳ =8,
∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形, ∴S△PQM＝S△PRQ ， S△ANQ＝S△ARQ, ∴S△APQ＝S△PRQ+ S△ARQ＝ S矩形PMNA=4
上，AP∥x轴,且点P在函数
上，
（2）解：当PQ ∵PQ=AP ∴2m= , ∴m= ∴
当PQ＝AQ时，则 ∴OA＝OB，
x轴时，则PQ＝ ，,AP=2m,
,
（3）解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，
∵A（m, ）,B(n, )， ∴ ∴mn=4.
【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM ⊥ x轴交x轴于点M，PN ⊥ x轴交x轴于点N，QR ⊥ AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。
（2）分情况讨论：当PQ=AP和当PQ＝AQ时，利用等腰直角三角形和AP∥x轴，建立方程求解即可；
（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程，即可得出结论。
5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数
与
（x＞0，0＜m＜n）
的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P ． 已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m ， n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】（1）①当x=4时， ∴点B的坐标是（4，1） 当y=2时，由得
得x=2
∴点A的坐标是（2，2） 设直线AB的函数表达式为
∴ 解得
∴直线AB的函数表达式为
②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，
由①得点B（4，1），点D（4，5） ∵点P为线段BD的中点 ∴点P的坐标为（4，3） 当y=3时，由 ∴PA= ∴PA=PC 而PB=PD
∴四边形ABCD为平行四边形 又∵BD⊥AC ∴四边形ABCD是菱形
得 ，PC=
，由
得
，
（2）四边形ABCD能成为正方形
当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），
当x=4时，
∴点B的坐标是（4， ） 则点A的坐标是（4-t， ∴
∴点D的纵坐标为 则点D的坐标为（4， 所以 表达示；
②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．
） ，整理得m+n=32
）
，化简得t=
【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的
6．如图①所示,双曲线y= (k≠0)与抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.
（1）求双曲线和抛物线的解析式;
（2）在抛物线上是否存在点P,使得∠POE+∠BCD=90°?若存在,请求出满足条件的点P的坐
标;若不存在,请说明理由;
（3）如图②所示,过点B作直线L⊥OB,过点D作DF⊥L于F,BD与OF交于点P,求 的值.
【答案】（1）解：把B(4,2)代人y= (k≠0)得2= 元,解得k=8z， ∴双曲线的解析式为y= ， 把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得，
，
∴
，
∴抛物线的解析式为y=
（2）解：连接DB,
∵C(-2,-4),
∴直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4)， ∴由两点间距离公式得BC= ∴BC2+DB2=CD2 ， ∴∠CBD=90°， ∴tan∠ BDC=
. ,DB=
,CD=
，
∵∠POE+∠BCD=90°,∠BCD+∠BDC=90°,
∴∠POE=∠BDC.即tan∠POE=3.
∴P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况:
解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍);
，
解得(0,0)(舍)或(18,-54)，
故可得出满足条件的P点有一个(18,-54)；
（3）解：由B(4,2)可得直线OB解析式y= ，
由OB⊥l可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10, ∴l的解析式为y=-2x+10， 由DF⊥l ， OB⊥l可得DF∥OB,
∴可设DF解析式y= x+b2 ， 把D(2，4)代入得b2=3. ∴DF的解析式为y= x+3，
把DF的解析式与l的解析式联立可得：
∴
，
解得：
∴DF= .∵DF∥OB，
，OB=
∴
【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C，且B（4，2），C（-2，-4），所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式；
（2）连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D，所以C、D两点关于原点成中心对称，所以点D（2，4），则可将BC、CD、BD放在直角三角形中，用勾股定理求得这三边的长，然后计算可得
，由勾股定理的逆定理可得∠CBD=90°，则∠BDC的正切值可
求出来，由已知条件∠POE+∠BCD=90°可得∠BDC=∠POE，则tan∠BDC=tan∠POE,点P所
在的直线解析式可得，将点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组，即可求得点P的坐标；
（3）由题意直线L⊥OB，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式，因为DF⊥L于F,所以同理可求得直线DF的解析式，把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标，则DF和OB的长可用勾股定理求得，因为DF∥OB，所以由平行线分线段成比例定理可得比例式;
,将DF和OB的值代入即可求解。
7．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=4，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数
的图象与BC边交于点E.
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）解：∵在矩形OABC中，OA=6，OC=4，∴B（6，4）， ∵F为AB的中点，∴F（6，2）， 又∵点F在反比例函数
（k＞0）的图象上，∴k=12，
∴该函数的解析式为y= （x＞0）
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（ ，4），F（6， ）， ∴ = = = =
，
，
∴当k=12时，S有最大值．S最大=3
【解析】【分析】）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次
函数求出最值即可．
8．在平面直角坐标系中，抛物线 是方程
的两根，且
经过点
，
、
，
，其中 、
，过点 的直线 与抛物线只有一个公共点
（1）求 、 两点的坐标； （2）求直线 的解析式； （3）如图2，点 是线段
上的动点，若过点 作 轴的平行线
与直线 相交于点
，与抛物线相交于点 ，过点 作 的平行线 与直线 相交于点 ，求 的长. 【答案】 （1）解：∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2 ， ∴x1=-2，x2=4，
∴A（-2，2），C（4，8）
（2）解：①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（-2，2）在直线l上， ∴2=-2k+b， ∴b=2k+2，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①， ∵抛物线y= x2②，
联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0， ∴k=-2， ∴b=2k+2=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x-2；
②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点， ∵直线l过点A（-2，2）， ∴直线l：x=-2
（3）解：由（1）知，A（-2，2），C（4，8）， ∴直线AC的解析式为y=x+4， 设点B（m，m+4）， ∵C（4.8）， ∴BC=
|m-4|=
（4-m）
∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D， ∴D（m， m2），E（m，-2m-2）， ∴BD=m+4- m2 ， BE=m+4-（-2m-2）=3m+6， ∵DC∥EF， ∴△BDC∽△BEF， ∴
，
∴ ∴BF=6
.
，
【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.
9．如图，已知二次函数
的图象与y轴交于点A(0，4），与x
轴交于点B，C，点C坐标为(8，0），连接AB，AC.
（1）请直接写出二次函数
的解析式.
（2）判断△ABC的形状，并说明理由.
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标.
【答案】 （1）解：∵二次函数 C坐标(8,0), ∴
的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B.C,点
解得
∴抛物线表达式：
（2）解：△ABC是直角三角形. 令y=0,则 解得x1=8,x2=-2, ∴点B的坐标为(-2,0), 由已知可得, 在Rt△ABO中 AB2=BO2+AO2=22+42=20, 在Rt△AOC中 AC2=AO2+CO2=42+82=80, 又∴BC=OB+OC=2+8=10, ∴在△ABC中 AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵A(0,4),C(8,0), AC=
=4
,
,0)或
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交轴于N,此时N的坐标为(-8,0), ②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为( (
,0)
③作AC的垂直平分线,交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),
综上,若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0)、(
,0)、(3,0)、
,0)
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得;(2)根据拋物线的解析式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形(3)分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧,与m轴交于三个点,由AC的垂直平分线与c轴交于一个点,即可求得点N的坐标
10．已知抛物线
与 轴的两个交点间的距离为2．
，请判断点（3,3）是否在此抛物线上？
；
（1）若此抛物线的对称轴为直线
（2）若此抛物线的顶点为（S，t），请证明 （3）当
时，求 的取值范围
【答案】 （1）解：抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线与 轴的两个交点间的距离
为2，可得抛物线与 轴的两个交点为（0，0）和（2，0）， 所以抛物线 当
时，
的解析式为与
所以点（3,3）在此抛物线上 .
（2）解：抛物线的顶点为 间的距离为2，
可得抛物线与 轴的两个交点为（ 所以抛物线 由 所以
；
，，0）和（
，0）
，则对称轴为直线
，且抛物线与
轴的两个交点
的解析式为与
得
（3）解：由（2）知 由对称轴为直线 可知 当 当a=10时，得 当a=20时，得 所以 当
时，
即
，且二次项系数
整理得
时，b的随a的增大而增大
，再得出与x
【解析】【分析】（1）根据已知条件得出两个交点坐标，利用待定系数法求出解析式，然后验证点（3,3）是否在这条抛物线上即可；（2）先确定对称轴为直线 轴的两交点坐标为（
，0）和（
，0），再利用待定系数法求出解析式的顶点
，根据函数
式可得解；（3）把t=-1代入顶点坐标公式，得到二次函数解析式 的增减性分别计算a=10和20时b的值从而得解.
11．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长. 【答案】 （1）15 （2）解：如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD=90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B+∠BAE=90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°， ∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°， ∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB， ∴CE= ， ∴BE=5﹣ = .
（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD， ∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°， ∴A、B、F共线， ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2=FB•FA，设FB=x， 则有：x（x+7）=122 ， ∴x=9或﹣16（舍去）， ∴AF=7+9=16， 在Rt△ACF中，AC= ∴2∠B+∠A=90°， 解得，∠B=15°；
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122 ， 推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；
【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ， 且OC＝OA
（1）求抛物线解析式；
（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N ． 已知M点的横坐标为m ， 试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S ， 并求当MN的长最大时S的值．
【答案】 （1）解：由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3） 设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）解：如图，
设直线AC解析式为y＝kx+d ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴ 解得
，
，
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设M（m ， ﹣m2﹣2m+3），则N（m ， m+3），则MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），
S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝ MN×3＝﹣ m2﹣ m ， MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ， ∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0， ∴m＝﹣ 时，MN最大，此时S＝ ．
【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；
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