三角形 2019年高考解三角形主要围绕“中的隐含条件、正余弦定理、三角形的面积公式、三角变换、三角形中的最值与范围”等热点问题展开的,凸显目标意识下的“等价转化”思想的具体应用。
■江苏省江都中学 俞 新
()(求s的值。2inB+C)
知条件求b,c的值。由余弦定理可得cosB()解析:借助余弦定理构建方程代入已1
2
2
a+c-b1,因为a=代入化简整==-,3
2ac22
22
。因为b-,理得c所以-b+3c+9=0c=2
一、利用三角形中的隐含条件和正弦定理求解三角形
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
例1 (2019年高考全国Ⅱ卷文15)
。
,代入解得b=c+2
,则B=c。已知bsinA+acosB=0
解析:边角满足齐次式,根据正弦定理把
边化为角,利用辅助角公式化为一个角的三角函数,结合角的隐含条件定角。由正弦定。因为A理,得sinBsinA+sinAcosB=0
b+c-a13
。因为A为△AcosA==BC2bc14
),,,定理求解。由(知a=3所以1b=7c=5
2
2
2
()注意内角和这个隐含条件,借助余弦2
。c=5
,b=7
332。所的内角,所以sinA=1-cosA=14
,),,),,所以s得s∈(0πB∈(0πinA≠0inB3π
,,。所以t所以B=+cosB=0anB=-1
4故选D。
33((。以sinB+C)=sinπ-A)=sinA=
14品味:三角形中的三角变换主要涉及和
差角公式、诱导公式和同角关系的应用等,关键在于合理选择正余弦定理变角化统一。已时常使用余弦定理,其中已知SSSA)AS时,直接使用余弦定理;已知S既可用正SA时,弦定理,也可用余弦定理。如果式子中含有角的余弦或边的二次齐次式时,常常借助三
22
角形面积和余弦定理沟通a+c、ac、a+c、bc,已知=2R(R为△ABC外接圆半径)
sinCab品味:在△ABC中,==
sinAsinB、知三边(即S或两边及一角(即SSS)AS
两边和一角或已知两角和一边,利用正弦定理可以求出其他的边和角。如果遇到等式中含有角的正弦或边的一次式或二次时,用正弦定理“边化角化为一个角的三角函数求;解”注意A+B+C=π这个隐含条件,用诱导公式可以降元或变名称。
之间的关系。
三、正余弦定理联合使用求解三角形
角A,△ABC中,B,C的对边分别为a,b,c。
()若a=31c,b=2,cosB=
例3 (在2019年高考江苏卷15)
二、利用三角变换和余弦定理求解三角形
1,,△ABC中,a=3b-c=2cosB=-。
2例2 (在2019年高考北京卷文15)
的值;
2,求c3()求b,1c的值;
的值。
sinAcosBπ
(),若求s2=inB+
a2b2
31
解题篇 经典题突破方法 高考使用 2019年10月
()解析:利用余弦定理构建关于c的方1程求根。因为a=3c,b=2,cosB=
品味:最常用的三角形面积公式有S=111
因为公absinC=bcsinA=acsinB,
222
余弦定理cosB=
(3c)+c-(2)132
,。即c所以c==,
2×3c×c332
2
2
a+c-b2,得=
2ac32
2
2
2
,由3
式中既有边又有角,最容易和正余弦定理联系起来解决问题。
五、三角形中的三角变换
内角A,△ABC中,B,C所对的边分别为a,
sinA再利用诱导公式求解。因为cosB,=
acosBabcosB,,由正弦定理得==2bsinAsinB2b()结合正弦定理和同角三角关系求得2
例5 (在2019年高考天津卷文16)
b,c。已知b+c=2a,3csinB=4asinC。
()求c1osB的值;()求s2in2B+
sinB2
,所以cosB=2sinB。从而cosB=b2222
((,即c故c2sinB),osB=41-cosB)osB=
25。cosB=525π,。因此s从而c0osB=inB+=
524
。因为s,所以cinB>0osB=2sinB>5
比值,用余弦定理求角。在△A由正BC中,
()解析:利用正弦定理和题设得到三边1
π的值。6
bc,弦定理得b=sinC=csinB。
sinBsinC即34asinC,b=4a。
又由3得3csinB=4asinC,bsinC=42又因为b+得到b=a,c=2a,c=a。
33品味:有关解三角形的问题,涉及正余弦
定理、同角三角函数关系式、诱导公式等的灵活应用,在解题的过程中,要时刻关注题设条件和目标意识,合理寻求简捷的途径,如(2)25π。cosB==sinB+
52,中由c所以osB=2sinB可求得tanB=2
四、三角形面积与正余弦定理的交汇
421622
a+a-a991
=-。
24
·2a·a3关系求三角函数值。
a+c-b由余弦定理可得cosB==
2ac222
()利用二倍角公式、和差角公式及同角2
)由(可得s1inB=
,c。若b=6a=2c,B=为
。
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,
π
,则△ABC的面积3
例4 (2019年高考全国Ⅱ卷理15)
1-cosB=
2
从而sin2B=2sinBcosB=-=cosB-sinB=-2
2
的方程求a,应用三角形面积公式计算。c,
22
(2c)+c-2×2c×c×
222由余弦定理得b所以=a+c-2accosB,
解析:应用余弦定理和题设,建立关于c故sin2B+sin
,得c=舍去)所以a=223,c=-23(c=所以S△ABC=43,
323×=63。
211acsinB=×43×22
122
,即c解=6,=12
2
π1537135+7
。=-×-×=-6828216
ππ
=sin2Bcos+cos2B·
66
7。815,cos2B8
15
,4
品味:高考中经常将三角变换与解三角
形综合起来命题,关键是正余弦定理的灵活应用,涉及的三角变换主要是“变角、变函数,,名和变运算结构”核心是“变角”弥补角之间结构差异的依据就是三角公式。
(责任编辑 王福华)
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