内蒙古包头市中考数学试
卷含答案解析版
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2017年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算（）所得结果是（ ） A．﹣2
2
﹣1
B． C． D．2
2．a=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．﹣1或﹣3
D．1或﹣3
3．一组数据5，7，8，10，12，12，44的众数是（ ） A．10 B．12 C．14 D．44
4．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．8的立方根是±2 B．
是一个最简二次根式
的自变量x的取值范围是x＞1
C．函数y=
D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称 6．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ） A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
7．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外部相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（ ） A． B． C．
D．
8．若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4
，则图中阴影部分的面积为（ ）
2
A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
10．已知下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
11．已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ） A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上
13．2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额超过3万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为 ．
14．化简：÷（﹣1）a= ．
15．某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高为163cm，则30名男生的平均身高为 cm． 16．若关于x、y的二元一次方程组为 ．
17．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
的解是
，则a的值
b
18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是 ．
19．如图，一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC=BC，则点C的坐标为 ．
20．如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3． （1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
23．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设计费能达到24000元吗为什么
（3）当x是多少米时，设计费最多最多是多少元
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB． （1）求证：AEEB=CEED； （2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，
=，求tan∠OBC的值及DP的长．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求ACCF的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC． ①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等请说明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值．
2
2017年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算（）所得结果是（ ） A．﹣2
B．
C． D．2
﹣1
【考点】6F：负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：（）==2，
﹣1
故选：D．
2．a=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ） A．﹣3
B．﹣1
C．﹣1或﹣3
D．1或﹣3
2
【考点】1E：有理数的乘方；14：相反数；19：有理数的加法． 【分析】分别求出a b的值，分为两种情况：①当a=﹣1，b=﹣2时，②当a=1，b=﹣2时，分别代入求出即可．
【解答】解：∵a=1，b是2的相反数， ∴a=±1，b=﹣2，
①当=﹣1，b=﹣2时，a+b=﹣3； ②当a=1，b=﹣2时，a+b=﹣1． 故选C．
2
3．一组数据5，7，8，10，12，12，44的众数是（ ） A．10 B．12 C．14 D．44 【考点】W5：众数．
【分析】根据众数的定义即可得．
【解答】解：这组数据中12出现了2次，次数最多， ∴众数为12， 故选：B．
4．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】I6：几何体的展开图．
【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图就可以求出结论． 【解答】解：由四棱柱的四个侧面及底面可知，A、B、D都可以拼成无盖的正方体，但C拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．
所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是C． 故选C．
5．下列说法中正确的是（ ） A．8的立方根是±2 B．
是一个最简二次根式
的自变量x的取值范围是x＞1
C．函数y=
D．在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称 【考点】74：最简二次根式；24：立方根；E4：函数自变量的取值范围；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据开立方，最简二次根式的定义，分母不能为零，关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：A、8的立方根是2，故A不符合题意； B、
不是最简二次根式，故B不符合题意；
的自变量x的取值范围是x≠1，故C不符合题意；
C、函数y=
D、在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点Q（﹣2，3）关于y轴对称，故D符合题意； 故选：D．
6．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ） A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
【考点】KH：等腰三角形的性质；K6：三角形三边关系．
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系； 故选A．
7．在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外部相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（ ） A． B． C．
D．
【考点】X4：概率公式．
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球， 随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个， ∴
=，
解得：x=3
∴随机摸出一个红球的概率是：故选A．
=．
8．若关于x的不等式x﹣＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
【考点】AA：根的判别式；C3：不等式的解集．
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+=1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：解不等式x﹣＜1得x＜1+， 而不等式x﹣＜1的解集为x＜1， 所以1+=1，解得a=0，
2
又因为△=a﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x+ax+1=0没有实数根． 故选C．
2
2
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
【考点】MO：扇形面积的计算；KH：等腰三角形的性质；M5：圆周角定理．
【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可． 【解答】解：连接OD、AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠C=45°，
∴∠BAC=90°， ∴△ABC是Rt△BAC， ∵BC=4
，
∴AC=AB=4， ∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，BO=DO=2， ∵OD=OB，∠B=45°， ∴∠B=∠BDO=45°， ∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=
+
=π+2．
故选B．
10．已知下列命题：
①若＞1，则a＞b； ②若a+b=0，则|a|=|b|；
③等边三角形的三个内角都相等； ④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
【解答】解：∵当b＜0时，如果＞1，那么a＜b，∴①错误； ∵若a+b=0，则|a|=|b|正确，但是若|a|=|b|，则a+b=0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确； ∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误； 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个， 故选A．
11．已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（ ） A．y1＞y2
B．y1≥y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
2
【考点】HC：二次函数与不等式（组）．
【分析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．
2
【解答】解：由消去y得到：x﹣2x+1=0，
2
∵△=0，
∴直线y=4x与抛物线y=2x+2只有一个交点，如图所示， 观察图象可知：y1≤y2， 故选D．
2
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；KF：角平分线的性质．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴
=
，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴
=
，
∵FC=FG， ∴
=
，
解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A．
二、填空题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分，将答案填在答题纸上
13．2014年至2016年，中国同“一带一路”沿线国家贸易总额超过3万亿美元，将3万亿美元用科学记数法表示为 3×10 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3万亿=3×10， 故答案为：3×10．
12
12
n
12
14．化简：÷（﹣1）a= ﹣a﹣1 ．
【考点】6C：分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【解答】解：原式=
a=﹣（a+1）=﹣a﹣1，
故答案为：﹣a﹣1
15．某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高为163cm，则30名男生的平均身高为 168 cm． 【考点】W2：加权平均数．
【分析】根据平均数的公式求解即可．用50名身高的总和减去20名女生身高的和除以30即可．
【解答】解：设男生的平均身高为x， 根据题意有：故答案为168．
=166，解可得x=168（cm）．
16．若关于x、y的二元一次方程组1 ．
【考点】97：二元一次方程组的解． 【分析】将方程组的解
代入方程组
的解是，则a的值为
b
，就可得到关于a、b的
b
二元一次方程组，解得a、b的值，即可求a的值． 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组∴
，
的解是
，
解得a=﹣1，b=2， ∴a=（﹣1）=1． 故答案为1．
b
2
17．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 20 度．
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAC=∵∠BOC=2∠AOB， ∴∠ACB=
BAC=20°．
BOC，∠ACB=
AOB，
故答案为：20．
18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是
．
【考点】LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】接AF，由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3，证出AB=FC，BF=CE，由SAS证明△ABF≌△FCE，得出∠BAF=∠CFE，AF=FE，证△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEF=45°，即可得出答案． 【解答】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=3， ∵FC=2BF， ∴BF=1，FC=2， ∴AB=FC，
∵E是CD的中点， ∴CE=CD=1， ∴BF=CE，
在△ABF和△FCE中，，
∴△ABF≌△FCE（SAS）， ∴∠BAF=∠CFE，AF=FE， ∵∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠CFE+∠AFB=90°， ∴∠AFE=180°﹣90°=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴∠AEF=45°，
∴ocs∠AEF=故答案为：
； ．
19．如图，一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC=BC，则点C的坐标为 （0，2） ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】利用方程组求出点A坐标，设C（0，m），根据AC=BC，列出方程即可解决问题．
【解答】解：由，解得或，
∴A（2，1），B（1，0）， 设C（0，m），
∵BC=AC， ∴AC=BC，
即4+（m﹣1）=1+m， ∴m=2，
故答案为（0，2）．
2
2
2
2
20．如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE，CD，点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，AM，AN．
下列结论：①△ACD≌△ABE；②△ABC∽△AMN；③△AMN是等边三角形；④若点D是AB的中点，则S△ABC=2S△ABE．
其中正确的结论是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．
【分析】①根据SAS证明△ACD≌△ABE；
②先证明△ACN≌△ABM，得△AMN也是等腰三角形，且顶角与△ABC的顶角相等，所以△ABC∽△AMN；
③由AN=AM，可得△AMN为等腰三角形；
④根据三角形的中线将三角形面积平分得：△ABC
=2S△ACD=2S△ABE．
【解答】解：①在△ACD和△ABE中，
∵，
∴△ACD≌△ABE（SAS）， 所以①正确； ②∵△ACD≌△ABE， ∴CD=BE，∠NCA=∠MBA，
又∵M，N分别为BE，CD的中点， ∴CN=BM，
在△ACN和△ABM中，
S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，则S
∵，
∴△ACN≌△ABM， ∴AN=AM，∠CAN∠BAM， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠ABC∠AMN， ∴△ABC∽△AMN， 所以②正确； ③∵AN=AM，
∴△AMN为等腰三角形， 所以③不正确； ④∵△ACN≌△ABM， ∴S△ACN=S△ABM，
∵点M、N分别是BE、CD的中点，
∴S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM， ∴S△ACD=S△ABE， ∵D是AB的中点， ∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE， 所以④正确；
本题正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．有三张正面分别标有数字﹣3，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
（1）试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）画出树状图列出所有等可能结果，再找到数字之积为负数的结果数，根据概率公式可得；
（2）根据（1）中树状图列出数字之和为非负数的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中数字之积为负数的有4种结果，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率为；
（2）在（1）种所列9种等可能结果中，数字之和为非负数的有6种， ∴两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率为=．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3． （1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】LA：菱形的判定与性质；JA：平行线的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题； （2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题； 【解答】解：（1）∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6．
（2）∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF，
在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE=
=2
，
．
∴四边形AEDF的周长为8
23．某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设计费能达到24000元吗为什么
（3）当x是多少米时，设计费最多最多是多少元
【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）由矩形的一边长为x、周长为16得出另一边长为8﹣x，根据矩形的面积公式可得答案；
（2）由设计费为24000元得出矩形面积为12平方米，据此列出方程，解之求得x的值，从而得出答案；
（3）将函数解析式配方成顶点式，可得函数的最值情况． 【解答】解：（1）∵矩形的一边为x米，周长为16米， ∴另一边长为（8﹣x）米，
∴S=x（8﹣x）=﹣x+8x，其中0＜x＜8；
2
（2）能，
∵设计费能达到24000元，
∴当设计费为24000元时，面积为24000÷200=12（平方米）， 即﹣x+8x=12， 解得：x=2或x=6， ∴设计费能达到24000元．
2
（3）∵S=﹣x+8x=﹣（x﹣4）+16， ∴当x=4时，S最大值=16，
∴当x=4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．
22
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB． （1）求证：AEEB=CEED； （2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，
=，求tan∠OBC的值及DP的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）直接根据题意得出△AED∽△CEB，进而利用切线的性质的出答案；
（2）利用已知得出EC，DE的长，再利用勾股定理得出CF的长，t即可得出an∠OBC的值，再利用全等三角形的判定与性质得出DP的长． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB， ∴△AED∽△CEB， ∴
=
，
∴AEEB=CEED；
（2）解：∵⊙O的半径为3， ∴OA=OB=OC=3， ∵OE=2BE，
∴OE=2，BE=1，AE=5， ∵
=，
∴设CE=9x，DE=5x， ∵AEEB=CEED， ∴5×1=9x5x，
解得：x1=，x2=﹣（不合题意舍去） ∴CE=9x=3，DE=5x=， 过点C作CF⊥AB于F， ∵OC=CE=3， ∴OF=EF=OE=1， ∴BF=2， 在Rt△OCF中， ∵∠CFO=90°， ∴CF+OF=OC， ∴CF=2
，
2
2
2
在Rt△CFB中， ∵∠CFB=90°， ∴tan∠OBC=
=
=
，
∵CF⊥AB于F， ∴∠CFB=90°，
∵BP是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠EBP=90°，∴∠CFB=∠EBP， 在△CFE和△PBE中
，
∴△CFE≌△PBE（ASA）， ∴EP=CE=3，
∴DP=EP﹣ED=3﹣=．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求ACCF的值． 【考点】SO：相似形综合题．
【分析】（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题； ②如图①中，连接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解决问题； （2）由△A′DF∽△A′D′C，可得△CDE∽△CB′A′，由
=
=
，推出DF=，同理可得
，求出DE，即可解决问题；
（3）如图③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF=ACCF=AFCD，把问题转化为求AFCD，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD∽△FAC，即可解决问题； 【解答】解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，
∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°， ∵α=60°，
∴∠DCD′=60°， ∴△CDD′是等边三角形， ∴DD′=CD=3．
②如图①中，连接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°， ∴△CDF≌△CD′F，
∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=30°， 在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=∴D′F=
，
．
，
∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣
（2）如图②中，
在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°， ∴A′C=A′D′+CD′， ∴A′C=5，A′D=2，
∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°， ∴△A′DF∽△A′D′C，
2
2
2
∴=，
∴=
，
∴DF=，
同理可得△CDE∽△CB′A′， ∴=，
∴=
，
∴ED=， ∴EF=ED+DF=
．
（3）如图③中，作FG⊥CB′于G．，∵四边形A′B′CD′是矩形， ∴GF=CD′=CD=3， ∵S△CEF=EFDC=CEFG， ∴CE=EF，∵AE=EF， ∴AE=EF=CE， ∴∠ACF=90°，
∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC， ∴△CAD∽△FAC， ∴
=
2
，
∴AC=ADAF， ∴AF=
，
∵S△ACF=ACCF=AFCD， ∴ACCF=AFCD=
．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；
（2）直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE=4EC． ①求n的值；
②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等请说明理由；
（3）直线y=m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧），点 M关于y轴的对称点为点M'，点H的坐标为（1，0）．若四边形OM'NH的面积为．求点H到OM'的距离d的值．
2
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，可得抛物线的解析式；
2
（2）①过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC，根据平行线分线段成比例定理，可得BE'=4OE'，设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x，根据OB=2，可得x=，再根据直线BC的解析式为y=x﹣3，即可得到E（，﹣
），把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得n的值；②
根据F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根据点D的坐标为（1，﹣3），点C的坐标为（0，﹣3），可得CD∥x轴，CD=1，再根据∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；
（3）根据轴对称的性质得出OH=1=M'N，进而判定四边形OM'NH是平行四边形，再根据四边形OM'NH的面积为，求得OP=，再根据点M的坐标为（﹣，），得到PM'=，Rt△OPM'中，运用勾股定理可得OM'=
，最后根据OM'×d=，即可得到d=
2
．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式y=x﹣x﹣3；
2
（2）①如图，过点E作EE'⊥x轴于E'，则EE'∥OC， ∴
=
，
∵BE=4EC， ∴BE'=4OE'，
设点E的坐标为（x，y），则OE'=x，BE'=4x， ∵B（2，0）， ∴OB=2，即x+4x=2， ∴x=，
∵抛物线y=x﹣x﹣3与y轴交于点C， ∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y=kx+b'， ∵B（2，0），C（0，﹣3），
2
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 当x=时，y=﹣∴E（，﹣
，
），
，
把E的坐标代入直线y=﹣x+n，可得﹣+n=﹣
解得n=﹣2；
②△AGF与△CGD全等．理由如下： ∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2， ∴当y=0时，x=﹣2， ∴F（﹣2，0），OF=2， ∵A（﹣1，0）， ∴OA=1， ∴AF=2﹣1=1，
由解得，，
∵点D在第四象限，
∴点D的坐标为（1，﹣3）， ∵点C的坐标为（0，﹣3）， ∴CD∥x轴，CD=1，
∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，
∴△AGF≌△CGD；
（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣点为M，N，
∴点M、N关于直线x=对称，
=，直线y=m（m＞0）与该抛物线的交
设N（t，m），则M（1﹣t，m）， ∵点 M关于y轴的对称点为点M'， ∴M'（t﹣1，m）， ∴点M'在直线y=m上， ∴M'N∥x轴，
∴M'N=t﹣（t﹣1）=1， ∵H（1，0）， ∴OH=1=M'N，
∴四边形OM'NH是平行四边形， 设直线y=m与y轴交于点P， ∵四边形OM'NH的面积为，
∴OH×OP=1×m=，即m=， ∴OP=，
当x﹣x﹣3=时，解得x1=﹣，x2=， ∴点M的坐标为（﹣，）， ∴M'（，），即PM'=， ∴Rt△OPM'中，OM'=
=
，
2
∵四边形OM'NH的面积为， ∴OM'×d=， ∴d=
．
2017年7月21日
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