＝(
1＋2i
) 1. (2018 年新课标Ⅱ理)
1－2i
3 4 －
C. － i
5 5
3 4 ＋
D. － i
5 5
4 3 5 5 A. － i
－
4 3 ＋
i B. －
5 5
1＋ 2i (1＋2i)(1＋2i) 3 4
D 【解析】 ＋ i. 1－ 2i (1－2i)(1＋2i)
＝ ＝－ 5 5
2. (2018 年新课标Ⅱ 理)已知集合 A＝ {( x, y )|x ( A. 9
2
＋ y2≤ 3, x∈ Z, y∈ Z} ,则A 中元素的个数为
)
B. 8
2
C. 5 D. 4
≤ 2, 得 y＝－ 1, 0, 1；当 x＝0时, y2≤ 3, 得 y＝－ 1, 0, 1；当 x＝1
A 【解析】 当 x＝－ 1时, y , y 时
2
≤ 2, 得 y＝－ 1, 0, 1. 所以集合 A 中元素有 9 个.
3. (2018 年新课标Ⅱ理)函数 f (x)＝
x－e
e
2
－
x
的图象大致为 ( )
x
A B
C
x
－
D
－ex
x－e
e
2
－
x
e
B 【解析】 f(－x)＝ (－x) 当 x＝1时, f(1)＝e－
＝－ f(x),则f(x)为奇函数 , 图象关于原点对称, 排除 A；
1
e
＞0, 排除 D；当 x→＋∞时, f(x) →＋ ∞, 排除 C. 故选B.
2 ＝－
x
...
...
4. (2018 年新课标Ⅱ理)已知向量 a, b 满足|a|＝1, a· b＝－ 1,则a· (2a－b)＝(
1
)
...
...
A. 4
2－a·
B. 3 C. 2 D. 0
b＝2＋1＝3. B 【解析】 由题意, a· (2a－b)＝2a
2 2
x y 5. (2018 年新课标Ⅱ理)双曲线
2－ 2＝1(a>0, b>0)的离心率为 3, 则其渐近线方程为 ( ) a b
3 2 A. y＝± 2x B. y＝± 3x C. y＝± x D. y＝± x
2 2
2－a2 2 c 2－1＝ 2, 所以双曲线的渐近 c b b c ＝ 3, 则 a 2 ＝ a A 【解析】 依题意, e＝
a 2＝ ＝
a a
b
线方程为 y＝±
a
x＝± 2x. 故选A. 6. (2018 年新课标Ⅱ理)在△ABC 中 , cos
c 5
＝ , BC＝ 1, AC＝5, 则 AB＝( 2 5
C. 29
)
A. 4 2 B. 30 D. 2 5
2－1＝－ 3 , 由余弦定理 , 得 5 2＋AC2－2BC· AC· cos C
A 【解析】 cos C＝2×
5 AB＝ BC
, 由余弦定理 , 得 AB＝ BC 5
3
＝ 1＋25＋2×1× 5×
5
＝4 2.
1 2
7. (2018 年新课标Ⅱ理 )为计算S＝ 1－ 空白框中应填入(
)
1 1
－ ＋⋯ ＋ ＋ 3 4
1
1
, 则在
－ , 设计了如图的程序框图 99 100
A. i＝i＋ 1?
...
B. i ＝i＋2? C. i＝i＋ 3? D. i＝i ＋4?
...
2
...
...
B 【解析】 模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是 ＋⋯ ＋
1 1
“入－ 100 ,则在空白处应填
99
i ＝i＋2?”.
S＝N－T＝ 1－
1 1 1 ＋ 2 3 4
－
8. (2018 年新课标 Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” 的素数中 , 随机选取两个不同的数 1 A. 12
1 B. 14
, 其和等于 30 的概率是 (
1 C. 15
, 如 30＝7＋23. 在不超过 30 )
1 D. 18
C 【解析】 在不超过 30 的素数中有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 个, 从中选 2 个不 3 2
同的数有 C10＝45 种 , 和等于 30 的有 (7, 23) , (11, 19) , (13, 17)共 3 种, 则对应的概率 p＝
＝ 45
1 . 15
9. (2018 年新课标 Ⅱ理)在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中, AB＝BC＝ 1, AA1＝ 3, 则异面直线AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 ( 1 A. 5
)
5 C. 5
2 D. 2
. ∵ 1, AA1
＝
5 B. 6
C 【 解析】以 D 为原点, DA 为 x轴DC 为 y轴, DD 1为 z轴, 建立空间直角坐标系如图所示 在
长
方
体
ABCD -A1B1C1D1
中
, AB
＝
BC
＝
→ →
＝(－1, 0, 3), DB 1＝(1, 1, 3). 设异 3, ∴A(1, 0, 0), D1(0, 0, 3), D(0, 0, 0), B1(1, 1, 3), AD1
→
面直线AD1 与 DB1 所成角为 θ, 则 cos θ＝
→
· DB1 AD1
2 ＝
5
＝ . 故选 C. 2 5 5
→ → |AD1||DB 1|
...
...
3
...
...
10. (2018 年新课标Ⅱ理)若 f(x)＝cos x－sin x 在[0, a]是减函数 ,则a 的最大值是 ( π A. 4
π B. 2
3π C. 4
π
)
D. π
π π π ≤ x－ ≤ ＋ C 【解析】 f( x)＝ cos x－sin x＝－ (sin x－cos x)＝－ 2sin x－ . 由－ ＋2kπ2 4
2 4
π π 3π 3π 2kπ(k∈Z), 得－ ＋2kπ， ≤ x≤ . 由 f( x) ＋2kπ(k∈Z). 取 k＝0, 得 f(x)的一个减区间为 －
4 4 4 4
3π
在[0, a]是减函数 , 得 a≤ [0, a]是减函数 , 所以 a 的最大值是 .
4
11. (2018 年新课标Ⅱ理)已知 f(x)是定义域为 (－∞, ＋∞)的奇函数 , 满足f(1－x)＝f(1＋ x), 若 f (1) ＝2,则f(1) ＋f(2)＋ f(3)＋⋯ ＋ f(50)＝( A. －50
B. 0
)
C. 2
D. 50
C 【解析】 ∵f(x)是奇函数 , 且 f(1－x)＝f(1＋ x), ∴f(1－ x)＝ f(1＋x)＝－ f( x－ 1), f(0) ＝0,则f(x ＋2)＝－ f(x),则f (x＋ 4)＝－ f( x＋2)＝f(x) , 即 f( x)是周期为 4 的周期函数 . ∵ f(1)＝2, ∴ f(2)＝f(0) ＝0, f(3)＝f(1－2)＝f(－1)＝－ f(1)＝－ 2, f(4)＝f(0) ＝0,则f(1)＋f(2)＋f (3)＋f(4) ＝2＋0－2＋0 ＝0, ∴则f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯ ＋ f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋ f(4)] ＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f (2)＝2 ＋0＝2.
12. (2018 年新课标Ⅱ理)已知 F1, F2 是椭圆C:
x
2 2
y
2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点 , A 是 C 的左 a b
顶点 , 点 P 在过A 且斜率为 3
的直线上, △PF1F2 为等腰三角形, ∠F1F2P＝120°,则C 的离心 6
率为 ( 2 A. 3
)
1 B. 2
1 C. 3
1 D. 4
3
D 【 解析】由题意知 A( －a, 0), F1(－c, 0), F2(c, 0), 直线 AP 的方程为 y＝ 6 (x＋a). 由∠ F1F2P
c
＝120°, |PF2|＝ |F1F2|＝2c,则P(2c, 3c), 代入 AP 的方程 , 整理得 a＝4c, ∴C 的离心率 e＝ ＝
a
1 . 4
...
...
4
...
...
13. (2018 年新课标Ⅱ理)曲线 y＝2ln x 在点 (1, 0)处的切线方程为________. y＝2x－2 【解析】 ∵y＝2ln x, ∴ y′＝
2
x
. 当 x＝1时, y′＝2, ∴曲线 y＝2ln x 在点 (1, 0)处的切
线方程为y－0＝ 2(x－1), 即 y＝2x－2.
x＋2y－5≥ 0，
x－2y＋3≥ 0，则z＝ x＋ y 的最大值为 14. (2018 年新课标Ⅱ 理 )若 x, y 满足约束条件
x－5≤ 0，
________.
9 【解析】 作出可行域如图.z＝ x＋y 可化为y＝－ x＋z. 当直线 y＝－ x＋ z过A(5 , 4)时, z 取 得最大值, 最大值为z＝5＋ 4＝9.
15. (2018 年新课标Ⅱ理)已知 sin α＋cosβ＝1, cos α＋sin β＝0,则sin(α＋ β)＝________.
5
...
...
1 2 2
＋cosβ＝1, 两边平方 , 得 sin α＋cos β＋2sin αcos β＝1, ① 由 cos α＋ 2 【解析】 由 sin α
－
2
2
sin β＝0, 两边平方 , 得cos α＋sin β＋2cos αsin β＝0, ② ①＋②, 得2＋2(sin αcos β＋cos αsin 1 . β)＝1, 即 2＋2sin(α＋ β)＝1, 解得 sin(α＋ β)＝－
2
7
14. (2018 年新课标 Ⅱ理)已知圆锥的顶点为 S, 母线 SA, SB所成角的余弦值为
8
, SA 与圆锥底面 所成角为 45°, 若△SAB 的面积为 5 15, 则该圆锥的侧面积为 ________.
7 15 1 2
40 2 【解析】 由题意可得 sin∠AMB＝ 1－
8 ＝ 8 2
2sin∠AMB＝5 . S△SAB＝ |SA|
15,
2sin∠AMB＝5 15,
2· 15 1 2
即 ＝5 15, 解得 SA＝4 5. SA 与圆锥底面所成角为 45°, 可得圆锥的底面半径为 2 2|SA|
8
1
× 4 5＝2 10, 则该圆锥的侧面积 ＝
2
× 4 10× 4 5π＝40 2π.
15. (2018 年新课标 Ⅱ理)记 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和, 已知 a1＝－ 7, S3＝－15. （1）求{ an} 的通项公式； （2）求 Sn, 并求 Sn 的最小值 .
【解析】 （1）设等差数列 { an} 的公差为 d. S3＝3a1＋3d＝3× (－7)＋3d＝－15, 解得 d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝－ 7＋2(n－1)＝2n－9. n(a1＋an) n(－7＋2n－9)
2（2）Sn＝ ＝n
＝ －8n.
2－8n. 2
2 ∵Sn＝n
2－
8n＝(n－4)2－16,
∴当 n＝4 时, Sn 有最小值为－ 16.
16. (2018 年新课标 Ⅱ理)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 的折线图 .
y(单位: 亿元)
...
...
6
...
...
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额 , 建立了 y与时间变量t 的两个线性回归模型 .
^
根据 2000 年至 2016 年的数据 (时间变量t 的值依次为 1, 2, ⋯ , 17)建立模型① : y＝－ 30.4＋
^
＝99＋ 13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据 (时间变量t 的值依次为 1, 2, ⋯ , 7)建立模型② : y 17.t .
（1）分别利用这两个模型
,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 ?并说明理由.
^
【解析】 （1）对于模型① , 当 t＝19 时 , y＝－ 30.4＋13.5×19＝226.1, 即该地区 2018 年的环 境基础设施投资额的预测值是
^
226.1 亿元.
对于模型② , 当 t＝ 9 时, y＝99＋17.5×9＝256.5 , 即该地区 2018 年的环境基础设施投资额的 预测值是 256.5 亿元.
（2）模型②得到的预测值更可靠 .
∵从总体数据看, 该地区从 2000 年到 2016 年的环境基础设施投资额是逐年上 的升
,
而从 2000 年到 2009 年间递增的幅度较小些, 从 2010 年到 2016 年间递增的幅度较大些, ∴利用模型②的预测值更可靠些.
16. (2018 年新课标Ⅱ理)设抛物线 C: y 交于 A, B 两点 , |AB |＝8. （1）求 l 的方程；
2＝ 4x 的焦点为 F, 过 F 且斜率为 k(k＞0)的直线 l 与 C
（2）求过点 A, B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .
7
...
...
【解析】 （1）抛物线 C 的焦点为 F (1, 0). 当直线的斜率不存在时 , |AB|＝4, 不合题意 . 设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1), A(x1, y1), B( x2, y2).
y＝k( x－1)，
2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0,
联立
消去 y, 得 k
2＝4x，
y
2
＋2) 2(k ∴x1＋x2＝ 2 , x1x2＝1.
k
2＋2)
由|AB |＝x1＋x2＋p＝ 2(k
2 ＋2＝8, 解得 k＝1. k ∴直线 l 的方程 y＝x－1.
（2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 D (3, 2),
则直线 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3), 即 y＝－ x＋5.
x0＝3， x0＝11，
解得 2
y0＝2 y0＝－ 6. 设所求圆的圆心坐标为 (x0, y0), 则
(y0－x0＋1)
或 2
(x0＋1) ＋16，
＝
2 ∴所求圆的方程为 (x－3)
2＋(y－2)2＝
y0＝－x0＋5，
16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
18. (2018 年新课标 Ⅱ理)如图 , 在三棱锥 P-ABC 中, AB＝BC＝2 2, PA＝PB＝PC＝AC＝4, O 为 AC 的中点 .
（1）求证 : PO⊥平面 ABC；
...
...
（2）若点 M 在棱 BC 上, 且二面角 M -PA-C 为 30°, 求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 .
8
...
...
【解析】 （1）证明: ∵AB＝BC＝2 2, AC＝4, ∴AB
2＋BC2＝AC2, 即△ABC 是直角三角形又 O为AC 的中点 , ∴OA＝OB＝ OC. ∵PA＝PB＝PC, ∴△ POA≌ △ POB≌ △ POC . ∴∠ POA＝∠ POB＝∠ POC＝90°.
∴PO⊥AC, PO⊥OB, OB∩AC＝0, ∴PO⊥平面 ABC .
（2）以 O 坐标原点 , OB, OC, OP 所在直线分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系如.示所图 易知 A(0, －2, 0), P(0, 0, 2 3), C(0 , 2, 0), B(2, 0, 0), B→C＝(－2, 2, 0). → 设BM → ＝λBC＝(－2λ, 2λ, 0), 0＜λ＜1,
→ → → 则AM ＝BM－BA＝ (－2λ, 2λ, 0)－(－2, －2, 0)＝ (2－2λ, 2λ＋ 2, 0), 则平面 PAC 的一个法向量为m＝(1, 0, 0).
→ 设平面 MPA 的法向量为n＝(x, y, z), 则PA＝(0, － 2, 2 3), → → 则 n· PA＝－ 2y－2 3z＝0, n· AM
＝(2－2)λx＋(2λ＋ 2)y＝0. 令 z＝1, 则 y＝－ 3, x＝
(λ
＋1) 3 (λ＋1) 3
1－λ 1－λ
, 即 n＝
，－ 3，1 .
∵二面角 M -PA-C为30°, ∴cos 30 °＝
m· n 3
|m||n|
, ＝ 2
(λ＋1) 3 即
λ－1
＝ 3 1 , 解得 λ＝
(λ＋1) 3 22 3
或 λ＝3(舍去 ).
1－ λ
＋1＋3×1
→
∴n＝(2 3, － 3, 1), PC＝(0, 2, －2 3).
→
－2 3－2 3 n〉|＝ 4 3 3 , PC 与平面 PAM 所成角的正弦值sin θ＝|cos〈PC
16· 16
＝ 16 . ＝ 4
...
.
...
...
9
...
x－ax2. 21. (2018 年新课标 Ⅱ理)已知函数 f(x)＝e
（1）若 a＝1, 求证 : 当 x≥ 0时, f(x)≥ 1； （2）若 f(x)在(0, ＋∞)只有一个零点 , 求 a. 【解析】 （1）证明: 当 a＝1时, f (x)＝e
x－x2,则f′x()＝ex－2x.
令 g(x)＝e
x－2x,则g′x()＝ex－2.
令 g′x()＝0, 解得 x＝ln 2.
当 x∈(0, ln 2)时, g′x()＜0；当 x∈(ln 2, ＋∞)时, g′x()＞0. ∴g(x)≥ g(ln 2) ＝e
ln 2－2·
ln 2＝2－2ln 2＞0.
∴f (x)在[0, ＋∞)单调递增,则f(x)≥ f (0)＝1.
（2）f( x)在(0, ＋∞)只有一个零点 , 等价于方程 e
x－ax2＝0 在(0, ＋ ∞)只有一个根
,
x
即 a＝e
x
e
2在(0, ＋∞)只有一个根
, 转化为 y＝a 与 G (x)＝
2的图象在
(0, ＋∞)只有一个交点x
x
′(x)＝ e x易得 G(x－2)
x(x－2) 3 . x
当 x∈(0, 2)时, G′(x)＜0；当 x∈(2, ＋ ∞)时, G′(x)＞0. ∴G(x)在(0, 2)单调递减, 在 (2, ＋∞)单调递增. 当 x→0时, G (x)→＋∞；当 x→＋ ∞时, G(x)→＋∞.
2
e
∴f (x)在(0, ＋∞)只有一个零点时, a＝G(2) ＝ .
4
...
.
...
19. (2018 年新课标 Ⅱ理)在直角坐标系xOy 中, 曲线C 的参数方程为
直线l 的参数方程为
x＝1＋tcos α， y＝2＋tsin α
(t 为参数 ).
10
...
x＝2cos θ，y＝4sin θ
(θ为参数 ),
...
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为
(1, 2), 求 l 的斜率 .
【解析】 （1）曲线 C 的参数方程为
2 2 x y
转换为直角坐标方程为 ＋
＝1. 4 16
， x＝1＋tcos α
直线 l 的参数方程为
y＝2＋tsin α
， x＝2cos θy＝4sin θ
(θ为参数 ),
(t 为参数 ),
转换为直角坐标方程为
xsin α－ycos α＋2cos α－sin α＝ 0.
,
8cos α＋4sin α
.
2α＋ 1＋t2＝－ 4cossin2α
2α＋ sin2α
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程
2
2
2＋(8cos α＋4sin α)t－8＝0,则t
整理得 (4cos
α＋sin α)t
t1＋t2
由于 (1, 2)为中点坐标 , ∴ ＝0,
2 则8cos α＋4sin α＝0, 解得 tan α＝－ 2. ∴直线 l 的斜率为－ 2.
20. (2018 年新课标 Ⅱ理)设函数 f( x)＝5－|x＋a|－|x－2|. （1）当 a＝1时, 求不等式 f(x)≥ 0 的解集； （2）若 f(x)≤ 1, 求 a 的取值范围.
2x＋ 4，x≤ － 1，
【解析】 （1）当 a＝1时, f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|＝ 2，－ 1＜x＜2，
－2x＋6，x≥ 2.
当 x≤ － 1时, f(x)＝2x＋4≥ 0, 解得－ 2≤ x≤ 1； 当－ 1＜x＜2时, f(x)＝2≥ 0 恒成立 , 即－ 1＜x＜ 2； 当 x≥ 2时, f(x)＝－ 2x＋6≥ 0, 解得 2≤ x≤ 3. 综上, 不等式 f( x)≥ 0 的解集为 [－ 2, 3]. （2）∵ f(x)≤ 1, ∴5－|x＋a|－|x－2|≤ 1. ∴|x＋a|＋|x－2|≥ 4.
∴|x＋a|＋|x－2|＝|x＋a|＋|2－x|≥ |x＋a＋2－x|＝|a＋2|. ∴|a＋2|≥ 4, 解得 a≤ － 6 或 a≥ 2. ∴a 的取值范围(－ ∞, －6]∪[2, ＋∞).
...
...
11
...
...
12
...
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