机械振动 第2章(习题)

习题

2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：2n=g/

+2运动微分方程（式2.5）：xnx=0 (0)=0 初始条件：x(0)=3,x由式2.8有：

0A=x0+(x2ωn)2=3

x=arctg

xω=0

00n由式2.7有： 响应：x=3cos(

gδt)

2.2 弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：2n=g/=9.8/0.2=49

+2运动微分方程（式2.5）：xnx=0 (0)=0 初始条件：x(0)=-0.2,x由式2.8有：

1

0振幅：A=x0+(x2ωn)2=0.2

x=arctg

xω=0

00n由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2/n

弹簧刚度：k=mg/=19.8/0.2=49(N/m) 最大弹簧力：FSmax=-kA=-490.2=9.8(N)

2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T—2.3所示，求其后的运动。

图 T—2.3

解：2n=k/(m1+m2)

+2运动微分方程（式2.5）：xnx=0

初始条件：x(0)=- m2g/k

12

(0) x(0) m2gh=2(m1+m2)x(以下略)

2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆

2

心受到一弹簧k约束，如图T—2.4所示，求系统的固有频率。

图 T—2.4

122解：系统的势能：U=2krθ

12122

系统的动能：Et=2I+2mr

由d(U+Et)=0得：（I+ mr）+kr2θ=0

kr22n=I+mr22



2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图T—2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

图 T—2.5

1112121解：系统的势能：U=2k(2aθ)+2k(2aθ)=4ka2θ2

12

系统的动能：Et=2I

1由d(U+Et)=0得：I+2ka2θ=0

ka22n=2I

T=2/n

2.6 求如图T—2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，

3

且k2＝2k1，k3=k1。

图 T—2.6

解：设k1=k

1则k12

1=k11+k211=k+2k2k12=3k

12125系统的势能：U=2k12x+2k3x=6kx2

12

系统的动能：Et=2mx

5由d(U+Et)=0得：mx+3kx=0

5k2n=3m

T=2/n

2.7 如图T—2.7所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

4

图 T—2.7

1解：系统的势能：U=mg(R-r)(1-cosθ)=2mg(R-r)θ2

1{说明：2mg(R-r)θ2为重心变化引起的势能；

由于重心变化引起的势能为：mg(R-r) (1-cosθ)； 由三角函数的的倍角公式：cosa=1-2sin2（a/2），

且当a很小时，sina≈a

cosθ=1-2sin2（θ/2）=1-2（θ/2）2=1-θ2/2

1 mg(R-r)(1-cosθ)=2mg(R-r)θ2}

122122Rr系统的动能：Et=2m(R-r)+2I（）

r{说明：

Rr圆柱质心点的速度:(R-r)=r=}

r由d(U+Et)=0得柱体的摆动方程：

2Rr[m(R-r)+ I（）] + mg(R-r)θ=0

r1对于均质圆柱：I=2mr2

2

32m(R-r)+ mg(R-r)θ=0 22n= 2g/[3(R-r)2]

2.8 横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为

的液体中。设从平衡位置压低距离x(见图T—2.8)，然后

无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

5

图 T—2.8

解：建立如图所示坐标系，系统平衡时x0，由牛顿第二定律得： mx’’+(Ax)g=0 有： =

2nAgm

初始条件为：x0=x，x0=0 所以浮子的响应为：x(t)xsin(tAg) m22.9 求如图T—2.9所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上)，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。

图 T—2.9

解：设盘1转角为1，令i=1/2，则

6

111222 221系统的动能：ET =2I11+2I22=2I1i2+2I22122=2( i I1+ I2) 2 12212212

系统的势能：U=2k1r11+2k2r22=2(ik1r12+ k2r22)22

由d(U+Et)=0得： ( i I1+ I2)

2

2+(ik1r1

22

+ k2r22) 2=0

2n=(i2k1r12+ k2r22)/ ( i2 I1+ I2)

T=2/n

2.10 如图T—2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与a均已知，求微振动的周期。

图T—2.10

1解：系统的势能：U=2ka2θ2(未计重力势能)

12122

系统的动能：Et=2Iθ’+2mR

由d(U+Et)=0得：（I+ mR）+ka2θ=0

ka22n=I+mR22



m=P/g T=2/n

2.11 弹簧悬挂一质量为m的物体，自由振动的周期为T，

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如果在m上附加一个质量m1，则弹簧的静伸长增加l，求当地的重力加速度。 解：

T=2/n n=2/T

2n=k/mk=m2n=42 m /T2

k=(m+m1)gl=m1g/k g=lk/m1=42 ml (/T2m1)

2.12 用能量法求图T—2.12所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，(b)与(c)中每个弹簧的弹性系数为k/2。(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

图T—2.12

解：(1) 杆重不计 (a)

1系统的势能：U=PL(1-cosθ)=2PLθ2

122

系统的动能：Et=2mL

2由d(U+Et)=0得： mL+PLθ=0

2n=PL/( mL2)=mgL/( mL2)=g/L

(b)

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11k1系统的势能：U= 2PLθ2+222a2θ2=2(PL+k a2) θ2

122

系统的动能：Et=2mL

由d(U+Et)=0得： mL+(PL+k a2) θ=0

22n=(PL+k a2)/( mL2)

(c)同(b)

(2)杆质量均匀，计入杆重

（略）

2.13 求如图T—2.13所示系统的等效刚度，并把它写成与x的关系式。

图 T—2.13

11a1解：系统的势能：U= 2kx2+2kb2x2=22(a2+b)2 kx b2212

系统的动能：Et=2mx

(a22由d(U+Et)=0得： mx+

+b)22b2 kx=0

(a系统的等效刚度：

2+b)b k

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2.14 一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图T—2.14所示。每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝1.66105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；

(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；

(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

图 T—2.14

2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图T—2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

图 T—2.15

2.16 见图T—2.16。求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。

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图 T—2.16

解：设U形管内液柱长L，截面积为A，密度为，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x时，有：

系统的势能：U=A2xgx

12

系统的动能：ET=2ALx

由d(U+ET)=0得：ALx+4Agx=0

2n=4g

LT=2/n

2．17 水箱l与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率(图T—2.17)。

图 T—2.17

2.18 如图T—2.18所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明：

11

2WT22T22

gAT1T2并指出的意义(式中液体阻尼力Fd=•2Av)。

图 T—2.18

证明：

对于无阻尼自由振动：T1=2/n=2/

k=42W/(gT12) (1) 对于有阻尼对于无阻尼的振动： d=

T2= T1/

km=2Wkg

ξ1—2n，即有：

ξ1—21=T2T22_T12

阻尼力：Fd=•2Av=cx’， v= x’ = c/2A 又（式2.26）：c=2mk

1mk/A=TT22_T122mk =2mk/(2A)= /A (2)

将（1）式和m=W/g代入（2）式，即有：

2WT22T22

gAT1T2证明完毕。

2.19 试证明：对数衰减率也可用下式表示

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ln1nx0xn

(式中xn是经过n个循环后的振幅)。并给出在阻尼比为0.0l、0.1、0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。 证明：设系统阻尼自由振动的响应为x(t)。

t0时刻的位移为x0；tnt0nT时刻的位移为xn；

由式（2.36）有：

x0Xent0cos(dt0)n(t0nTd)ennTd xnXecos[d(t0nTd)]x0x0lnnTnnln，即：ndxnx11x0ln nxn（参见式2.41）

12当振幅衰减到50%时，xn0.5x0，即：nln2ln2

211)当 0.01时，n11；要11个循环； 2)当 0.1时，n1.1；要2个循环； 3)当 0.3时，n0.34；要1个循环；

2.20 某双轴汽车的前悬架质量为m1=1151kg，前悬架刚度为k1=1.02105N／m，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比=0.25，那么应给前悬架设计多大阻尼系数(c)的悬架减振器? 2.21 重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度v成正比。要保证物体不发

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生振动，求阻尼系数c的最低值。若物体在静平衡位置以初速度v0开始运动，求此后的运动规律。

解：设系统上下运动为x坐标系，系统的静平衡位置为原点，系统的运动微分方程为：

PPx+cx+gx=0

c2mkcPP 2g系统的阻尼比：系统不振动条件为：1，即：c2P/g

物体在平衡位置以初速度0开始运动，即初始条件为：

x00x00 此时系统的响应为：（可参考教材P22） 1)当1时：x(t)ent(A1ent21A2ent21)

0A11,22n21其中： gn2) 当1时：x(t)A1etnA2tent，其中：A1

02A0ntx(t)te即： 03) 当1时： x(t)et(C1cosdtC2sindt)

nC01nt0C/x(t)esindt 0d其中：2，即：

d12nd

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2.22 一个重5500N的炮管具有刚度为3.03105N／m的驻退弹簧。如果发射时炮管后座1.2m，试求：

①炮管初始后座速度；

②减振器临界阻尼系数(它是在反冲结束时参加工作的)；

③炮管返回到离初始位置0.05m时所需要的时间。 2.23 设系统阻尼比＝0.1，试按比例画出在/n＝0.5、1.0、2.0三种情况下微分方程的向量关系图。

2.24 试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当=0.2、n =5rad/s时系统的品质因子和带宽。

2.25 已知单自由度系统振动时其阻力为cv(其中c是常数，v是运动速度)，激励为F＝F0sint，当=n即共振时，测得振动的振幅为X，求激励的幅值F0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。

2.26 某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为F＝50cost(N)，系统在周期T＝0.20s时共振，振幅为0.005cm，求阻尼系数。

解：由T0.20s时共振可知，系统固有频率为：n当nc=

210 TF0时，已知响应振幅：X，（参见教材P30）

cF0X=

105

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2.27 一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的1.2%，试计算其结构阻尼系数。 2.28 要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。

2.29 若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即

Fdax2x0 2Faxx0d求其等效阻尼系数和共振时的振幅。

2.30 KGlⅡ电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为。当转速为nr／min时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。 2.31 电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重Q，偏心距为e。试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。

2.32 一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上(图T—2.32)，并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为kT的扭转弹簧。调整片转动惯量为I，因而系统固有频率2n=kT／I，但因kT不能精确计算，必须用试验测定n。为此固定升降舵，利用弹簧k2对调整片做简谐激励，并用弹簧k1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率 T。试以 T和试验装置的参数来表示调整片的固有频率n。

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图 T—2.32

解：设调整片的转角为，系统的微分方程为： I+[kT+(k1+k2)L2]=k2Lysint

2k(kk)L212系统的共振频率为：0T

I22因此：kTI0(k1k2)L

调整片的固有频率为：2n=kTI=20(k1k2)L2-I

2.33 如图T—2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。

图 T—2.33

2.34 单摆悬点沿水平方向做简谐运动(图T—2.34)，x=asint。试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L，摆锤质量为m。

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图 T—2.34

2.35 一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率1600～2200r／min范围的振动隔离，为了隔离85%，隔振器的静变形需要多少?

2.36 试从式(2.95)证明：

1. 无论阻尼比取何值，在频率比/n2时，恒有X＝A。

2. 在/n2，X/A随增大而减小，而在/n2，

X/A随增大而增大。

2.37 某位移传感器固有频率为4.75Hz，阻尼比=0.65。试估计所能测量的最低频率，设要求误差≤1％，≤2％。 2.38 一位移传感器的固有频为率2Hz，无阻尼，用以测量频率为8Hz的简谐振动，测得振幅为0.132cm。问实际振幅是多少?误差为多少?

2.39 一振动记录仪的固有频率为fn＝3.0Hz，阻尼比=0.50。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为

x=2.05sin4t+1.0sin8t (cm)

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证明：振动记录仪的振动z将为

z＝1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200)(cm)

2.40 求单自由度无阻尼系统对图T—2.40所示激励的响应，设初始条件为零。

2.41 求图T—2.41所示系统的传递函数，这里激励是x3(t)。

2.42 一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图T—2.42所示。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

图 T—2.42

解：弹簧接触墙壁时，m的速度为：

02gssin30gs 以接触时m的位置为原点，斜下方为正，则系统的微分方程为：

mxkxmgsin30

x00考虑到系统的初始条件：x0gs，采用卷积分计算系

统的响应为：

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mgsin30x(t)sinnt(1cosnt)

nk其中：nk mx0当m与墙壁脱离时应有x(t1)0

mg故由：x(t1)sinnt12k(1cosnt1)0

ngsk4skarctg() 可得到：t12mmg也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。

2.43 一个高F0、宽t0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图T—2.43所示。用叠加原理求t>t0后的响应。

图 T—2.43

2.44 如图T—2.44所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。

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图 T—2.44

2.45 证明式(2.136)，即卷积积分满足交换律

h(t)F(t)F(t)h(t)

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