平面向量奔驰定理

已知O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：

SA•OASB•OBSC•OC0

AOBC如图2延长OA与BC边相交于点D则

BDSABDSBODSABDSBODSC DCSACDSCODSACDSCODSB

图1

AOBCODDCBDOBOC BCBCSCSBOBOC SSSBCBC

SDS ODOASBODBOASCODSBODSCODSA SCOASBOASCOASBSC图2



ODSASBSCOA

SASBSCOASCSBOBOC

SBSCSBSCSA•OASB•OBSC•OC0

推论:O是ABC内的一点，且

x•OAy•OBz•OC0，则

SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

O是ABC的重心

SBOC:SCOA:SAOB1:1:1OAOBOC0

O是ABC的内心

SBOC:SCOA:SAOBa:b:ca•OAb•OBc•OC0

O是ABC的外心

SBOC:SCOA:SAOBsin2A:sin2B:sin2C sin2A•OAsin2B•OBsin2C•OC

0

O是ABC的垂心

SBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanC tanA•OAtanB•OBtanC•OC0

COADB

证明：如图O为三角形的垂心，tanACDCD,tanBtanA:tanBDB:AD ADDBSBOC:SCOADB:AD

SBOC:SCOAtanA:tanB

同理得SCOA:SAOBtanB:tanC，SBOC:SAOBtanA:tanC

SBOC:SCOA:SAOBtanA:tanB:tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

4.2三角形“四心”的相关向量问题

一．知识梳理：

四心的概念介绍：

(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；

(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。  与“重心”有关的向量问题

1 已知G是△ABC所在平面上的一点，若GAGBGC0，则G是△ABC的( )．

A．重点

如图⑴.

B．外心 C．内心 D．垂心

CA'GA

图⑴

PBM AB

CO图⑵

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足2已知O是平面上一定点，AOPOA(ABAC)，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的( ).

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

)时，由于(ABAC)表示BC边上【解析】由题意AP(ABAC)，当(0，的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，如图⑵.

3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足

（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心

sinB==

sinC=AD，

解：作出如图的图形AD⊥BC，由于∴

由加法法则知，P在三角形的中线上 故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 故选：B．

 与“垂心”有关的向量问题

3 P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的( )

A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA0，所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB，PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．如图⑶.

CAPEMHFOBB

CP

A图⑶ 图⑷

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足4已知O是平面上一定点，AABAC，OPOA(0，)，则动点P的轨迹一定通过△ABCABcosBACcosC的( )．

A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

ABAC， 【解析】由题意APABcosBACcosCABACBC0， 由于ABcosBACcosC即

ABBCABcosBACBCACcosCBCCB0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点

在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图⑷.

5若H为△ABC所在平面内一点，且HABCHBCAHCAB 则点H是△ABC的( )

222222A．重点

证明:

B．外心 C．内心 D．垂心

HAHBCABC

2222A (HAHB)•BA(CACB)•BA

得(HAHBCACB)•BA0 即(HCHC)•BA0 ABHC 同理ACHB,BCHA， 故H是△ABC的垂心  与“内心”有关的向量问题

6已知I为△ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa ．若

B 图6 H C aIAbIBcIC0，则I是△ABC的( )

．A．重点 B．外心

BC．内心 D．垂心

COcIaP

图⑸

图⑹

【解析】∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得(abc)IAbABcAC0，

ABAC， ∵bABcACACABABACACABABACbcABAC．∵AB与AC分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AIabcABACABAC∴AI与∠BAC平分线共线，即AI平分BAC．

同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是△ABC的内心，如图⑸.

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 7已知O是平面上一定点，AOP OAA．重点

ABAC则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )． (0，)，，

ABACC．内心

D．垂心

B．外心

ABAC，∴当(0，【解析】由题意得AP)时，AP表示BAC的平分

ABAC线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，如图⑹.

8若O在△ABC所=

在的平面内：

，则O是△

ABC的（ ） A．垂心 解：∵向量

B．重心

C．内心

D．外心

是单位向量

的模等于1，因而向量

∴向量、和等都是单位向量

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，

∵

可得AO在∠BAC的平分线上

同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB， ∴O是△ABC的内心． 故选：C．

 与“外心”有关的向量问题

8已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的( )．

A．重点

B．外心

CC．内心 D．垂心

AOBBMPOAC图⑺

图⑻

【解析】若OAOBOC，则OAOBOC，∴OAOBOC，则O是

222222△ABC的外心，如图⑺。

9 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OBOCABAC，(0，OP)，则动点P的轨迹一定通过

ABcosBACcosC2△ABC的( )。 A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心

OBOCABAC表【解析】由于过BC的中点，当(0，)时，ABcosBACcosC2示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻

 四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC。 2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设△ABC的外心为O，则点G为△ABC的重心的充要条件是OG1(OAOBOC)

3

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H1三点连线称为欧拉线），且OGGH。

2相关题目

10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使求证：（1）H是△ABC的垂心；

．

（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2． 【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O， ∴又∵∴则

=

•

==0

即AH⊥BC

同理BH⊥AC，CH⊥AB 即H是△ABC的垂心； （2）∵G为△ABC的重心 ∴即

=3

=3=3+=

即O，G，H三点共线，且OH=3OG 即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2