二次函数解决实际问题(可用)

利用二次函数解决实际问题

类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）（不含相似形知识点）

1、某广告公司设计一幅周长为20 m的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m，广告牌的面积为S m． (1)写出广告牌的面积S与边长x的函数关系式； (2)当x为何值时，广告牌面积S最大？最大值为几？

2、如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)如果要围成面积为45 m的花圃，AB的长是多少米？

(2)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相

对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

4、明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

x2

2

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5、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？

▲6、（探究）如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道

篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米． (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

7、如图，在ABC中，B动点P从点

90，

AB12mm，BC24mm，

，动点Q从点B开始沿A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合）

边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从经过几秒，四边形

A、B同时出发，那么

APQC的面积最小，最小面积为多少？

☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？

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▲2、（讨论）某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?最大利润为多少？

3、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩。预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？

4、某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的

函数关系是t=-3x+204.

（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式（每件服装销售的毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差）

(2)商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少元？

5、(2008年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润卉的利润

与投资量

成正比例关系，如图12-①所示；种植花成二次函数关系，如图12-②所示(注：

与投资量

利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润

与

关于投资量

的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

6．（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x500．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不

低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）

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▲7．（2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

1<体会>（1）、一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x5＋10x． ①经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ ②经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？ 2（2）、在一场足球比赛中，有一个球员从球门正前方10米处将球踢向球门，当球飞行的水平距离为6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问该球员能否射中球门？ 若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =1x＋150，成本为20元100/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）；

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳－成本－附加费）．

（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元； （2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 12

x 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额100

☆类型三、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车船通行问题）

1、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m .

（1）求此拱桥所在的抛物线的函数关系式 （2）当水面下降1m后,水面的宽度是多少?

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2、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m,当水位上升1m时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。一艘装满防汛器材的船在此河流中行，露出水面得高为0.5m、宽为4m，当水位上升1 m时这艘船能从桥下通过吗?

3、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－

x＋4表示．

2

（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？ （3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？

1、（2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价系式

y1（万元）之间满足关

y11702x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系.

（1）直接写出．．．．y2与x之间的函数关系式； （2）求月产量x的范围；

（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

2、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高度为4.4 m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

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3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学掷铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象一部分，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标(6，5)． (1)求这个二次函数的关系式；

(2)该男同学把铅球掷出去多远？(精确到0.01 m，

4、某校九年级的一场篮球比赛中，如图所示，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮

圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m．设篮球的运动轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m．

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并判定此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为2.9 m，那么他能否获得成功？

5、作水平飞行的轰炸机，在距地面高度600 m时投弹，炸弹离开飞机后运行的轨迹是抛物线，在如图所示的直角坐标系中，炸弹下落的垂直距离y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－ x(1)如果不计其他因素，飞机在离目标多远(水平距离)时投弹，才能命中地面目标？ (2)飞机和敌机的相对高度是500 m，距敌机的水平距离是1 500 m，此时投弹，能否击中敌机？

如图所示，是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一条抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面为6米，隧道的宽度AA1为6米．

(1)求隧道拱抛物线BCB1的函数解析式．

2

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(2)现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽度为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，它能否通过这个隧道？请说明理由．