1、变力做功问题：
仅适用于恒力对做直线运动的物体做功，
（1）变力做功或物体做曲线运动时力做功就不能用功的定义式来计算。在一些特殊情况下，仍可用上述功的定义公式来计算。
如某人以F的水平拉力拉一物体沿半径为R的圆形轨道走一圈，人对物体做功后变力做功且物体做曲线运动（如图），不能用公式 进行计算。如果将曲线分成若干小段，各小段的位移依次为 ，只要每一小段位移取得足够小，可以认为每一小段位移的方向与那一段位移的起点所作的曲线的切线方向（即F的方向）一致，在这一小段位移上力F所做的功可以计算，把各小段上F做功加在一起，就是拉力F所做的功
而
所以有
（2）如果物体做直线运动，作用力的大小随着位移的增大而均匀变化，可以用平均作用力乘位移来计算变力所做的功。
例如，把劲度系数为k的弹簧拉长x，拉力所做的功
（3）利用力-位移图像可求功. 如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积.
上题物体受到的水平力F随着物体位移s的变化图像如图所示，我们设定一些数值：
可见力随位移的增大均匀增大。用类似于证明v-t图像与横轴围成的面积在数值上等于位移s（因为s＝vt）一样，我们也能证明，F-s图像与横轴围成的面积在数值上等于力F所做的功W（W＝F•s）。此变力在物体发生20m位移的过程中做的功在数值上等于图中阴影线标出的梯形面积。
如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和.
（4）用动能定理来解决变力做功是十分重要而且方便的，我们将在以后学习。
（5）在有些情况下，变力不对物体做功，如图所示，
物体沿曲面下滑过程中，支持力的大小和方向都发生变化，用将位移分段的方法，将曲线分成非常短的一段段小位移，在每一小段位移内，N的大小和方向可以认为是不变的，且与这一段位移垂直，根据功的计算公式，支持力在这一小段上不做功，所以支持力在物体运动的全过程中都不做功，可见支持力始终与物体运动方向垂直。
2、关于摩擦力做功的问题：
不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功。力做功是要看哪个力对哪个物体在哪个过程中做的功，而不是由力的性质来决定的。力做正功还是做负功要看这个力是动力还是阻力。摩擦力可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直。
滑动摩擦力对物体做负功——物体克服滑动摩擦力做功，这是比较常见的情形。滑动摩擦力可以做正功，如上图所示，平板车放在光滑水平面上，右端放一小木块，用力F拉平板车，结果木块在平板上滑动，这时平板给木块的滑动摩擦力 水平向右，木块的位移也向右，滑动摩擦力 对木块做正功。
滑动摩擦力不做功的情况如上图所示。A、B叠放在水平面上，B用一水平绳与墙相连，现用水平力F将A拉出，物体A对B的滑动摩擦力 水平向右，B的位移为零，所以，滑动摩擦力 对B不做功。
静摩擦力做功的情况可用上图所示的装置来说明。若用水平力F拉平板车，木块与平板车保持相对静止，而一起向右做加速运动，则平板车将给木块水平向右的静摩擦力 （用来产生加速度），在木块运动过程中，此力对木块做正功。根据牛顿第三定律，木块也将给平板车水平向左的静摩擦力 而平板车的位移水平向右，故木块给平板车的静摩擦力对平板车做负功。如果放在水平地面上的物体，用一水平力去拉但没拉动，此时物体受的静摩擦力与水平力大小相等，方向相反，但物体位移为零，所以静摩擦力不做功。如果受静摩擦力作用的物体位移不为零，静摩擦力做功也可能为零，如上图所示，匀速向右行驶的车厢内，用力将物块m压在左壁上，物块相对车厢静止，由力的平衡知，车厢壁对物块有竖直向上的静摩擦力 ，位移方向水平向右，故 与位移方向垂直，静摩擦力对物块不做功。
3、机车启动的两个启动过程：
①汽车以恒定功率启动后先做变加速运动，最后做匀速直线运动，变化情况如下：
此时ｖ达到最大速度ｖｍ，→此后保持ｖｍ做匀速直线运动.
②当汽车以恒定加速度启动后，过程变化情况如下：a恒定
→以后汽车将保持以ｖｍ做匀速直线运动.
由图像来区别两种机车启动过程：
A图：恒定功率的加速
B图：恒定牵引力的加速
【典型例题】
例1. 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则（ ）
A. 加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大
B. 匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大
C. 两过程中拉力的功一样大
D. 上述三种情况都有可能
［思路点拨］因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F. 这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态. 设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg＝ma，
匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2＝mg，匀速直线运动的位移S2＝v•t＝at2. 拉力F2所做的功W2＝F2•S2＝mgat2.
［解题过程］比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系.
因此选项A、B、C的结论均可能出现. 故答案应选D.
［小结］由恒力功的定义式W＝F•S•cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态（加速、匀速、减速）无关. 在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功.
例2. 如图所示，一个质量为m的木块，放在倾角为 的斜面体上，当斜面与木块保持相对静止沿水平方向向右匀速移动距离s的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合力的功是多少？
分析：木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个力，重力mg，支持力 ，静摩擦力 ，根据木块的平衡条件，由这三个力的大小，物体的位移及力与位移的夹角. 即可由功的计算公式算出它们的功.
解：沿斜面建立直角坐标将重力正交分解，由于物体相对斜面静止而在水平面上做匀速运动，根据力的平衡条件可得
斜面对木块的支持力 为
斜面对木块的静摩擦力 为
支持力 与位移s间的夹角为 ，则支持力做的功
摩擦力 与位移s的夹角为 ，则摩擦力 做功
重力与位移的夹角为90°，则重力做的功
合力做的功等于各个力做功的代数和，即
点评：可以看出，斜面对物体的弹力有的做功、有的不做功，关键在于物体在这个弹力的方向上是否有位移. 不能简单的说斜面的弹力对物体不做功。
本题合力做的功也可以先计算出合力，再求出合力的功
例3. 如图所示。A为静止在水平桌面上的物体，其右侧固定着一个定滑轮O，跨过定滑轮的细绳的P端固定在墙壁上，于细绳的另一端Q用水平力F向右拉，物体向右滑动s的过程中，力F对物体做多少功？（上、下两段绳均保持水平）
解析：本例题仍重点解决计算功时对力和位移这两个要素的分析。如果着眼于受力物体，它受到水平向右的力为两条绳的拉力，合力为2F。因而合力对物体所做的功为W＝2Fs；如果着眼于绳子的Q端，即力F的作用点，则可知物体向右发生s位移的过程中，Q点的位移为2s，因而力F拉绳所做的功W＝F•2s＝2Fs。两种不同处理方法结果是相同的
例4. 质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质
量为m的小物块，如图所示. 现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功.
［思路点拨］此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题. 小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的. 分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功.
［解题过程］由F＝ma得m与M的各自对地的加速度分别为
设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为
所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为
［小结］解决此类问题的关键在于在深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图（如图）. 在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果.
例5. 质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。若司机突然减小油门使实际功率减为 并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？以后汽车将怎样运动？
解析：由公式F- f＝ma和P＝Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P＝Fv，F将减半，合力变为 ，方向和速度方向相反，加速度大小为 ；以后汽车做恒
定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F＝f时，a＝0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。
小结：这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。
例6. 汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，如图，所受阻力为车重的0.1倍（g＝10 m/s2），求：
（1）汽车所能达到的最大速度vm＝？
（2）若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
（3）当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？
（4）在10 s末汽车的即时功率为多大？
［思路点拨］由P＝F•v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比. 当汽车的牵引力与阻力（包括爬坡时克服下滑力）相等时，速度达最大. 只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F•v＝P额时，匀加速运动即告结束，可由W＝F•S求出这一阶段汽车做的功. 当10 s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由Pt＝F•vt求发动机的即时功率.
［解题过程］（1）汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝Kmg＋mgsinα＝4000＋800＝4800 N.
又因为F＝f时，P＝f•vm，所以
（2）汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f－mgsinα＝ma. 所以
F′＝ma＋Kmg＋mgsinα＝4×103×0.6＋4800＝7.2×103 N.
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v′m，有
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移
（3）由W＝F•S可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为
W＝F•S＝7.2×103×57.82＝4.16×105J.
（4）当t＝10 s＜13.9 s，说明汽车在10 s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率
Pt＝F•vt＝F•a•t＝7.2×103×0.6×10＝43.2 kW.
［小结］本题为功和功率概念应用于汽车运动过程中的综合题。注意汽车匀加速行驶的特征：牵引力为恒力，发动机输出功率与即时功率逐渐呈线性增大。当输出功率达到额定功率时可作为匀加速运动结束的判据，此后牵引力将逐渐减小，呈现“牛－马效应”，直至vｍ＝P／F时，以vm收尾匀速行驶。
例7. （2006年广东15题）一个质量为 的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数 。从 开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，
力F随时间的变化规律如图所示。求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功。 取 。
解析：当物体在前半周期时，由牛顿第二定律，得： F1－μmg＝ma1
a1＝（F1－μmg）/m＝（12－0.1×4×10）/4＝2 m/s2
当物体在后半周期时，由牛顿第二定律，得： F2＋μmg＝ma2
a2＝（F2＋μmg）/m＝（4＋0.1×4×10）/4＝2 m/s2
前半周期和后半周期位移相等：
一个周期的位移为8 m，最后1 s的位移为3 m
83 s内物体的位移大小为： x＝20×8＋4＋3＝167 m
一个周期F做的功为： W1＝（F1－F2）x1＝（12－4）4＝32 J
力F对物体所做的功为： W＝20×32＋12×4－4×3＝681 J
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1、下面关于摩擦力做功的叙述中正确的是（ ）
A. 摩擦力做功的多少只与起始和末了的位置有关，与运动的路径无关
B. 静摩擦力总是对物体不做功，而滑动摩擦力总是对物体做负功
C. 一对相互作用的静摩擦力做功的和一定为零
D. 静摩擦力和滑动摩擦力都可做正功，也可做负功
2、如图所示，质量为m的物体从同一高度沿着不同仰角的斜面下滑，其仰角θ1<θ2<θ3,物体跟各斜面间摩擦系数都相同。若物体从斜面顶端滑至底端的过程中，物体的重力所做的功分别为W1、W2、W3，则（ ）
A. W1>W2>W3 B. W1 3、在2题中，若物体从斜面顶端滑至底端过程，克服摩擦力做的功分别为W1、W2、W3，则（ ） A. W1>W2>W3 B. W1 4、汽车在平直公路上匀速行驶，下述说法正确的是（ ） A. 汽车发动机的牵引力对汽车不做功 B. 地面对汽车的阻力对汽车不做功 C. 地面对汽车的支持力对物体不做功 D. 汽车的重力对汽车不做功 E. 汽车所受的合力对汽车不做功 5、起重机将货物提升到同一高度，下列几种情况中做功最少的是（ ） A. 匀速上提 B. 加速上提 C. 减速上提 D. 上述三种情况做功一样多 6、下列几种情况中，力做功等于零的是（ ） A. 挑水时，肩对扁担的支持力所做的功 B. 水平转盘上物体随圆盘做匀速圆周运动时，静摩擦力对物体所做的功 C. 汽车加速前进时，车厢地板与地板上物体间的静摩擦力对物体所做的功 D. 物体匀速运动时，所受合力对其所做的功 7、关于功率，下列说法正确的是（ ） A. 由功率P＝W/t，只要知道W和t的值就可求任意时刻的功率 B. 由P＝F•v可知，汽车的功率和它的速度成正比 C. 由P＝F•v可知，当发动机功率一定时，牵引力与速度成反比。 D. 汽车发动机功率达到额定功率，当牵引力等于阻力时，汽车的速度最大 8、水平恒力F两次作用在同一物体上，使物体沿力的方向发生相同位移，第一次是在光滑的水平面上，第二次是在粗糙的水平面上，两次F做的功和功率的大小关系是（ ） A. W1＝W2，P1>P2 B. W1>W2，P1＝P2 C. .W1>W2，P1>P2 D. W1＝W2，P1＝P2 9、船在河中行驶，如船受到的阻力与船的速率的平方成正比，当船以v匀速行驶时，发动机输出功率为P，当船以v/2匀速行驶时，则发动机输出的功率是（ ） A. P/8 B. P/4 C. P/2 D. P 10、一质量为m的物体在倾角为θ的光滑斜面上由静止开始下滑，在竖直方向上下降了h时，重力做功的瞬时功率是（ ） A. B. C. D. 11、如图所示，物体A质量为2kg，置于光滑水平面上，水平拉力F为2N，不计绳 与滑轮的摩擦及滑轮质量，则A获得的加速度为 m/s2。在A移动0.4m时，F做功为 J。 12、列车和机车的总质量是500t，机车额定功率为600kW，在平直公路上行驶，所受阻力为车重的0.01倍。当其速度为10m/s时，加速度为 m/s2；列车能达到的最大速度是 m/s。（g取10m/s2） 13、一物体沿水平直线运动，其速度随时间变化及所受拉力的图像如图的甲、乙所示， 则（1）0～8s内拉力对物体做的功是 J，物体所受摩擦力做的功是 J。 （2）2～4s和0～8s内拉力做功的平均功率是 W和 W。 （3）3s末和5s末拉力做功的即时功率是 W和 W。 14、质量为m的物体，在长为L，仰角为θ的斜面上恰能匀速滑下，如果物体在沿斜面向上的推力作用下由底端匀速上升到顶端，在此过程中，试求：（1）推力做的功；（2）克服摩擦力做的功；（3）这个斜面的机械效率。 15、一质量为103kg的汽车，发动机功率不变。在水平路面上，汽车的最大速率为36m/s。在爬坡度为每20m路面升高1m的高地时，速率只能达到30m/s。设在平地上和高坡上的摩擦阻力一样。试求： （1）汽车发动机的功率； （2）车子沿高坡向下行驶时的最大速率。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容