兴仁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

兴仁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则A．

B．

C．

D．

+

，类比这个结论可

+…+

=（ ）

2． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则则r=（ ） A．C．

B． D．

知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，

3． 某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）

A． =0.7x+0.35 B． =0.7x+1 C． =0.7x+2.05 D． =0.7x+0.45

4． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° B．45° C．60° D．90°

5． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的

1，则圆锥的体积（ ） 21 6 A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的

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6． 已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（ ）

A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x

7． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）

A．64 B．32 C．

6432 D． 33

8． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7

B.8

C. 9

D. 10

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【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.

9． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

A． B．4 C． +

D．2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为

，则C的方程为（ ） +y2=1

C．

+

=1

+

=1

，过F2的直线l交C于A、B

10．已知椭圆C：

两点，若△AF1B的周长为4A．

+

=1

B．

D．

11．设a,b,cR，且ab，则（ ） A．acbc B．12．函数y=

11 C．a2b2 D．a3b3 ab的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．在△ABC中，已知

14．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ccosBa则边c的最小值为_______．

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．

=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

13b，ABC的面积Sc，

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15．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：

﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O

﹣

= ．

外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则

16．如图，在矩形ABCD中，AB 则ED的长=____________ 17．不等式

3，

BC3， E在AC上，若BEAC，

的解为 ．

y2x18．设x,y满足约束条件xy1，则zx3y的最大值是____________．

y10三、解答题

19．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

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20．如图，已知椭圆C

，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交

点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上． （1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q． ①证明：OM•ON为定值； ②证明：A、Q、N三点共线．

21．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0 （Ⅰ）求实数a，b的值 （Ⅱ）求函数f（x）的极值．

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22．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现． 落在上述区域的概率？

23．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°． （1）求

及|+|；

（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cosθ的值．

24．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FEFH，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A,B放在弧EF上，点C,D放在斜边EH上，且AD//BC//HF，设AOE.

（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.

（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）

22

（2）试求方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率．

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兴仁县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

2*22

【解析】解：∵Sn=n+2n（n∈N），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n+2n）﹣[（n﹣1）+2

（n﹣1）]=2n+1． ∴∴==﹣

． +=

+…+

=

=

+

， +…+

故选：D．

【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2． 【答案】 C

【解析】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点， 则四面体的体积为 ∴R=故选C．

分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．

【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，上去．一般步骤：得出一个明确的命题（或猜想）．

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3． 【答案】A

【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得， =4.5， =3.5． 因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35． 故选A．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

4． 【答案】C 【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为V1rh，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的考点：圆锥的体积公式.1

6． 【答案】B

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．

故选：B．

132V111122，则体积为V2(2r)hrh，所以12，故选A.

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【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:

144432，故选B. 2考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.

【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8． 【答案】A

【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n10，i1；n5，i2；n16，i3；n8，i4；n4，i5；n2，i6；n1，i7，到此循环终止，故选 A. 9． 【答案】C

【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥

由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为侧棱为2故V=

，则棱锥的高h=

=2

=2

=3

，2，底面边长为2

故选C

10．【答案】A

【解析】解：∵△AF1B的周长为4∴4a=4∴a=

， ，

，

，

，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

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∴椭圆C的方程为故选：A．

+

=1．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

11．【答案】D 【

解

析

】

考

点：不等式的恒等变换. 12．【答案】D

【解析】解：令y=f（x）=∵f（﹣x）=∴函数y=

=﹣为奇函数，

，

=﹣f（x），

∴其图象关于原点对称，可排除A；

+

又当x→0，y→+∞，故可排除B；

当x→+∞，y→0，故可排除C； 而D均满足以上分析． 故选D．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：∵b=2a，

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

．

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∴

∴cosB=． 故答案为：．

==．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．【答案】1

15．【答案】 1 ．

【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外）， 均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD， 可通过特殊点，取A（﹣1，t），

则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t）， 由直线和圆相切的条件可得，t=1． 将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得故答案为：1．

【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．

21

16．【答案】

2

【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.

3

因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2

2

3332121

－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.

4224217．【答案】 {x|x＞1或x＜0} ．

﹣

=1．

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【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0 解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0} 以解集形式写出

18．【答案】【解析】

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解

7 3712处取得最大值为. 333试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点A,考点：线性规划．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．

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（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），

【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解

20．【答案】

【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1）， ∵点A在椭圆C上，∴

2

整理得：6t+4t=0，解得t=﹣

，

或t=0（舍去）， ，﹣

），

∴E（﹣，﹣），A（﹣

∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （2）证明：设P（x0，y0），则

，

①直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

，

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON=

|xM|

|xN|

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=2•||•||

=||

=||

==

|．

|

②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），

联立22

，整理得：（1+2k）x﹣4kx=0，

∴xQ=，yQ=，

∴kAN===1﹣，kAQ==1﹣，

要证A、Q、N三点共线，只需证kAN=kAQ，即3xN+4=2k+2， 将k=

代入，即证：xM•xN=

，

，

由①的证明过程可知：|xM|•|xN|=而xM与xN同号，∴xM•xN=即A、Q、N三点共线．

，

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

21．【答案】

322

【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x+ax+bx+1，故f′（x）=6x+2ax+b

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从而f′（x）=6

从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3

y=f′（x）关于直线x=﹣对称，

又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12

32

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+3x﹣12x+1

f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2） 令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2

当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数； 当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．

22．【答案】

【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域， 其中p、q都是整数的点有6×6=36个，

点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， （3，2），（3，3），有9个点， 所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=

；

点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），

（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；

2222

若方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根，则有△=（2p）﹣4（﹣q+1）＞0， 22

解可得p+q≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π， 22

即方程x+2px﹣q+1=0有两个实数根的概率，P2=

．

【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．

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23．【答案】

【解析】解：（1）∴∴

；

=

=

；

；

； ；

（2）同理可求得

∴=． 求

的方法，以及向量夹角

【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据余弦的计算公式．

24．【答案】（1）S21sincos，其中02.（2）6时，Smax【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD的面积S关键是用表示上下底及高，先由图形得

33 2AOEBOF，这样可得高AB2cos，再根据等腰直角三角形性质得AD1cossin，

BC1cossin最后根据梯形面积公式得

0ADBCABS221sincos，交代定义域

2．（2）利用导数求函数最值：先求导数f'22sin1sin1，再求导函数零点6，

列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接OB，根据对称性可得AOEBOF且OAOB1， 所以AD1cossin，BC1cossin，AB2cos， 所以

ADBCABS221sincos，其中02．

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考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

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