绝对值的“奥秘”

绝对值的“奥秘”

作者：俞琴贤

来源：《初中生世界·七年级》2019年第09期

“绝对值”是初中数学中的一个重要概念，是比较有理数大小和进行有理数运算的基础。求绝对值是解与绝对值相关问题的关键，也是大多数同学的学习难点。求绝对值的“秘诀”有哪些呢？我们一起来了解。 一、直接求绝对值

当a>0时，[a]=a;当a=0时，[a]=0;当a 例1 已知3

【解析】结合已知条件，先判断每一个绝对值符号里的数是正数还是负数或0，再根据求一个数的绝对值的方法去掉绝对值符号。 解：因为当30，x-5 二、分类讨论求绝对值

当已知条件中，无法判断绝对值符号里式子的正负性时，要用分类讨论。 1.绝对值中涉及多个字母时，要考虑各个字母取值的所有情形。 例2 求式子[aa]+[bb]+[abab]的值。

【解析】根据a、b符号的所有可能情况，去掉绝对值符号是解答本题的关键。 解：由题意知，a≠0，b≠0，所以分4种情况讨论：

（1）当a>0，b>0时，原式=1+1+1=3;（2）当a>0，b0时，原式=-1+1-1=-1;（4）当a 综上：原式的值为3或-1。

2.某个字母与多个绝对值相关时，要用“零点分段”讨论法。

“零点”是指使式子等于0的未知数的值。如代数式[x-4]的零点就是方程x-4=0的解，即x=4。一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，对应就有几个零点，如

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

代数式[x+2]+[x-4]中有两个不同的绝对值，对应有两个零点，即x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

“分段”是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，将数轴分成若干小段。如有两个零点时，在数轴上标出后，可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n个不相同的零点，就把数轴分成（n+1）段。 例3 化简代数式[x+2]+[x-4]。

【解析】第一步：由题意得原式的零点为x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。 第二步：将求得的所有零点在数轴上标出来，如图1所示，数轴被分成3段： （1）x4。

图1

第三步：在分出的每一段线段内，讨论绝对值符号里式子的正负性，然后去掉绝对值符号，求出绝对值。

解：（1）当x4时，原式=（x+2）+（x-4）=2x-2。 三、巧用绝对值的几何意义求绝对值

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在解绝对值相关问题时，同学们可借助数轴，利用绝对值的几何意义巧解绝对值。解题时要做到“脑中有图，心中有数，数形结合，优势互补”。 例4 阅读下列材料：

[a]的几何意义是：数轴上表示数a的点与原点之间的距离。则[a-b]的几何意义是：数轴上表示数a的点与数b的点之间的距离。例如，[a-1]的几何意义：数轴上表示数a的点与数1的点之间的距离;[a+2]的几何意义：数轴上表示数a的点与数-2的点之间的距离。 请利用绝对值的几何意义求： 当-2≤x≤5时，[x+2]+[x-5]的值。

【解析】如图2，[x+2]+[x-5]表示数轴上x到-2的距离与x到5的距离之和。当-2

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

≤x≤5时，[x+2]+[x-5]表示数轴上-2到5之间的距离，该距离为7。 图2

变式1 求代数式[x+2]+[x-5]的最小值。

【解析】如图2，当-2≤x≤5时，[x+2]+[x-5]=7;如图3，当x7;如图4，当x>5时，[x+2]+[x-5]>7。所以[x+2]+[x-5]的最小值为7。

图3

图4

变式2 请你尝试解决以下问题：

（1）求代数式[x-1]+[x-2]+[x-3]的最小值。 （2）求代数式[x-1]+[x-2]+[x-3]+[x-4]的最小值。

（3）求代数式[x-1]+[x-2]+[x-3]+…+[x-2018]+[x-2019]的最小值。

【解析】利用绝对值的几何意义，探究奇数个绝对值的和与偶数个绝对值的和的最小值规律。

参考答案：2;4;1019090。 变式3 （1）若[x]=3，求x的值。 （2）若[x-1]=4，求x的值。 （3）若[x+1]+[x-2]=7，求x的值。 【解析】同样利用绝对值的几何意义解答。 参考答案：3或-3;5或-3;-3或4。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

（作者单位：江苏省常州市西夏墅中学）