高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一

一 试

（考试时间：80分钟 满分100分）

一、填空题（共8小题，8756分）

1、已知,点(x,y)在直线x2y3 上移动,当2x4y取最小值时,点

(x,y)与原点的距离是

。

2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

记f1(n)f(n)，fk1(n)f(fk(n))，f12312223214。

k1,2,3...，则f2010(2010)

。

中，二面角

ABD1A13、如图，正方体是 。

ABCDA1B1C1D1的度数

4、在1,2,,2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数

a,b,c满足

abcbcacab，则

bac的最大值

是 。

6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标是 。 7、已知数列a0,a1,a2,...,an...,满足关系式(3an1)(6an)18且a03，则

1

1i0ain的值是 。

8、函数f(x)sinxcosxtanxcotxsinxcosxtanxcotx在x(o,)时

sinxtanxcosxtanxcosxcotxsinxcotx2的最小值为 。

二、解答题（共3题，14151544分）

9、设数列{an}满足条件：a11,a22，且an2an1an(n1,求证：对于任何正整数n，都有：nan11n1

an2,3,)

2

10、已知曲线M:x2y2m，x0，m为正常数．直线l与曲线M的实轴不垂直，且依次交直线yx、曲线M、直线yx于A、B、

C、D4

个点，O为坐标原点。

（1）若|AB||BC||CD|，求证：AOD的面积为定值；

（2）若BOC的面积等于AOD面积的1，求证：|AB||BC||CD|

3

3

11、已知、是方程4x24tx10(tR)的两个不等实根，函数f(x)

2xtx21的定义域为[,]. （Ⅰ）求g(t)maxf(x)minf(x);

（Ⅱ）证明：对于ui(0,2)(i1,2,3)，若则1113g(tanu6. 1)g(tanu2)g(tanu3)4

4

sinu1sinu2sinu31，

二 试

（考试时间：150分钟 总分：200分）

一、（本题50分）如图，

O1和O2P 与ABC的三边所在的三条直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG、

FH的延长线交于P点。

O1。

G H A 。

O2

求证：直线PA与BC垂直。

5

E B C F

二、（本题50分）正实数x,y,z，满足xyz1。证明：

x5x2y5y2z5z2550 5222222xyzyzxzxy

6

三、（本题50分）对每个正整数

0n为平方数）（当f(n)1

（当]n不为平方数）[{n}n，定义函数

（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}x[x])。试求：f(k)的

k1240值。

7

四、（本题50分）在世界杯足球赛前，F国的教练员为了考察

A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛(每场

比赛90分钟)中都上场，假设在比赛的任何时刻，这些队员都有且只有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除．如果每场换人的次数不限，那么，按每名队员上场的总时间计，共有多少种不同的情况？

8

答案与解析

一、填空题 1、354。2x4y2=3542x2y42.x33,y时取最小值, 24此时

x2y2。

2、4。 解： 将f(2010)5记做20105，于是有

20105252985891454220416375889

从89开始，fn是周期为8的周期数列。故

f2010(2010)f2005(89)f52508(89)f5(89)4。

3、60。 解：连结D1C,作CEBD1，垂足为E，延长CE交A1B于F，则FEBD1，连结AE，由对称性知AEBD1,FEA是二面角

D1C1ABD1A1的平面角。

A1B1FEDCA连结AC，设AB1，则ACAD1ABAD12在RtABD1中，AEBD132222,BD13.

，

22B421 3在AEC中,cosAECAECEAC2AEAC42AECE2AE223AEC1200,而FEA是AEC的补角，FEA600。

4、

3。 4018 解：三个数成递增等差数列，设为 a,ad,a2d，

9

按题意必须满足a2d2010,

1,2,,20102d.

d1004。 对于给定的d,a可以取

1004d1故三数成递增等差数列的个数为 (20102d)1005*1004. 三数成递增等差数列的概率为 5、

171。 41005*100433C20104018。

解：由条件，有

bca， acabbc令abx,bcy,caz； 则axzy,bxyz,c22yzx， 2从而原条件可化为：

xyyzzxzz4z111, zxyxyxy

1172令xyt,则t41，解得t1zt172或t，

故

bxyzt1171 ac2z2246、经过M,N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y3x1.解：上，设圆心为S(a,3a)，则圆S的方程为：(xa)2(y3a)22(1a2)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而

角度增大，所以，当MPN取最大值时，经过M,N,P三点的圆S必与x轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足

2(1a2)(a3)2,解得 a1

或a7.

10

即对应的切点分别为P(1,0)和P(7,0)，而过点M,N,P的圆的半

径大于过点M,N,P的圆的半径，所以MPNMP'N，故点P(1,0)为所求，所以点P的横坐标为1. 7、1(2n2n3).

3解：设bn

111,n0,1,2,...,则(3)(6)18, anbn1bn即3bn16bn10.bn12bn1,11bn12(bn) 333故数列{bn1}是公比为2的等比数列，

3bnn1111112n(b0)2n()2n1bn(2n11)。 33a0333nn1n211i112(2n11)b(21)(n1)2n3。 i321ioaii0i033

8、4.解：

1111f(x)(sinxcosx)(tanxcotx) sinxtanxcosxcotxcosxtanxsinxcotx44(sinxcosx)(tanxcotx)sinxtanxcosxcotxsinxtanxcosxcotx（由调和平均值不等式）4

要使上式等号成立，当且仅当

sinxtanxcosxcotx(1) tanxcosxcotxsinx(2)（1） －（2）得到sinxcosxcosxsinx，

11

即得sinxcosx。因为x(0,)，

2所以当x时，f(x)4f()4。所以minf(x)4。 4

二、解答题 9、证明：令 于是

na01,则有 ak1akak1，且 1akak1(k1,2,) ak1ak1nakank1 k1ak1k1ak1由算术-几何平均值不等式，可得

1na1a2a2a3anaa+n01an1a2a3an1an1

注意到

11na0a11，可知

an11nanan11 ，即

y B O A B P nan11nan

D C x A Q C

10、解：（1）设直线l：ykxb代入x2y2m得：

(1k2)x22bkxb2m0，0得：b2m(1k2)0，

设B(x1,y1)，C(x2,y2)，则有x1x22bk21k

12

(b2m)，x1x2，

1k2

设A(x3,y3)，D(x4,y4)， 易得：x3b1k，x4b1k，

3由|AB||BC||CD|得|BC|1|AD|， 故|x1x2|1|x3x4|，

3代入得

2bk24(b2m)12b()||， 22231k1k1k8整理得：b29m(k21)， 又|OA|SAOD2|bb|，|OD|2||，AOD90， 1k1kb29m为定值. 2|1k|8 （2）设BC中点为P，AD中点为Q 则xpx1x2bk21k2，xQx3x4bk21k2，

所以xPxQ，P、Q重合，从而|AP||DP|，

从而|AB||CD|，又BOC的面积等于

AOD面积的

1，所以|BC|1|AD|， 33从而|AB||BC||CD|.

11、解：（Ⅰ）设x1x2,则4x124tx110,24(x12x2)4t(x1x2)20,2x1x2t(x1x2)24x24tx210,

10 21t则f(x2)f(x1)2x22t2x2(x2x1)t(x1x2)2x1x222(x21)(x121)x21x11

又t(x1x2)2x1x22t(x1x2)2x1x210f(x2)f(x1)0

2

13

故f(x)在区间,上是增函数。

t,,

()t()2214g(t)maxf(x)minf(x)f()f()222215t21t22228t1(2t5) 22516t252t16

（Ⅱ）证：

8216(23)24cosuicosuicosuicosuig(tanui)216169cosui9cos2ui21624166(i1,2,3) 22169cosui169cosui3

311312(169cosui)(163939)sin2ui) 166i1166i1g(tanui)i13sinui1i1,且ui(0,),i1,2,323sinui(sinui)21，

2i1i133而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，

111113(759)6 g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)16634

二 试

一、证明：延长PA交EF于D，则PEG和PHF分别是

ACD与ABD的截线，由梅涅劳斯定理得：

14

DEECBFFDCGGADPPAAP1PDAH1HB① ②

P

O1,O2都是ABC的旁切圆，

1ECCG(BCCAAB)BFHF2③

O1

G H O2

于是由①、②、③得： 又

DE=GAAHFD

E

B

A RtAGO1RtAHO2

D C F

∴

DE=GAAHFD=AO

1AO2而O1,A,O2三点共线，且O1EEF,O2FEF, ∴

二、证明：原不等式可变形为

x2x5y2y5z2z5550 5222222xyzyzxzxyPABC

x2y2z2x2y2z2x2y2z2即 5225225223

xyzyzxzxy由柯西不等式以及xyz1可得

(x5y2z2)(yzy2z2)(x2xyzy2z2)2

(x2y2z2)2,

x2y2z2yzy2z2即 522222

xyzxyzx2y2z2zxz2x2同理 522222

yzxxyz

15

x2y2z2xyx2y22 522zxyxy2z2上面三式相加并利用x2y2z2xyyzzx得

x2y2z2x2y2z2x2y2z2xyyzzx23 522522522222xyzyzxzxyxyz

三、解：对任意a,kN*，若k2a(k1)2，则1ak22k，设

ak,01,

则

1{a}11akak2k2k12k1,[][]. 2ak2ak2ak2ak{a}让a跑遍区间(k2,(k1)2）中的所有整数，

2k1则[][2k],

ii1k2a(k1)2{a}(n1)2a1

于是f(a)[i1i1n2k2k……① ]i下面计算[2k],画一张2k2k的表，第i行中，凡是i行中的位

i12ki数处填写“*”号，则这行的“*”号共[2k]个，全表的“*”号共

i[i12k2k]个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T(j)i个正因数，则该列使有T(j)个“*”号，故全表的“*”号个数共

2k2kT(j)个，因此[]T(j). ii1j1j12k2k示例如下：

16

i j 1 * 2 * * 3 * * 4 * * * 5 * 6 * * * * 1 2 3 4 5 6 nn2ki1i1j1则f(a)T(j)n[T(1)T(2)](n1)[T(3)T(4)][T(2n1)T(2n)]

……②

由此，f(k)(16k)[T(2k1)T(k)] ……③

k1k125615记akk T(2k1)T(2k),k1,2,,15,易得ak的取值情况如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16nak3 5 6 6 7 8 6 9 8 8 8 10 7 10 10

因此，f(k)(16k)akk1k115783……④

据定义f(256)f(162)0，

(16r30)，

又当k{241,242,,255},设k152rk15152r15rrrr152r1531152r1530，

1130131]1,k{241,242,,255}……⑤ 2，则[2r{15r}r{k}240i1256i1从则f(k)783f(k)78315768.

17

四、解：设各人上场时间分别为7t1,7t2,7t3,7t4,13t5,13t6,13t7 (ti为正整数)． 得方程

7(t1t2t3t4)13(t5t6t7)903.

令t1t2t3t4x,t5t6t7y.得方程7x13y270. 即求此方程满足4x38,3y20的整数解． 即6y4(mod7),3y2(mod7),y3(mod7)

y3,10,17,相应的x33,20,7.

t5t6t73.的解只有

1种，t5t6t710.的解有C92种，

2t5t6t717.的解有C16种； t1t2t3t433.的解有C32种，

3

3t1t2t3t420,的解有C19种，

3t1t2t3t47,的解有C6种．

3323C6C16C92C1942244种。 ∴ 共有1C32

18