例谈“函数图像问题”的解题策略

２０１８年３月　解法探究　学　谋　例谈“函数图像问题”的解题策略　◎江苏省南通市第一中学瞿子茗　在高考数学考查范围中，函数占据了重要的地位．函　数的类型千变万化，解法也灵活多变．对于一些高次函数　过，一旦遇见常规的函数，解决方法就变得多样化了．因　设函　则函数ｙ　【　　ｌｏｇｚｘ　Ｌｘ＞ｏ，，，圳埘　或是超越函数，对待它们一般只能选择用导数来求解，不　零点个数为一　～　解析：本题中所给的原函数　）显得比较常规，此分　　为基本函数是可以用图像来表示的函数，所以，图像法就　段函数极易画出其图像，如图２，成了最能直观反映出函数特征的函数解题方法．　题的解题策略．　但是本题的关键点在于所要求的　Ｉ／一　不妨以以下几个例题为例，来探究一下函数图像问　函数是一个复合函数，这为画图寻找零点增加了诸多不便，因此　我们可以通过先画　）的图像，　再进行分段讨论得出答案．　＿＿＝＝＝＝＿＋／＿＿　，　ｏｌ／　例１已知函数　）＝—　一尼　共有两个零点，则　的取　十Ｚ　值范围是—一　（１）当　≤Ｏ时，ｙ＝ｆ［ｆ（ｘ）］一１　２　）一１＝１ｏｇ２２￣一１＝Ｘ一１．　解析：高中有关函数知识常见的题型就是将函数的　令ｙ＝Ｊ［ｆ（ｘ）］一１＝０，得ｘ＝ｌ（舍去）．　（２）当０　≤１时，ｙ＝Ｊ［ｆ（ｘ）］一１　ｌｏｇ２ｘ）一ｌ＝２ｒｅ，／，一１　一１．　零点问题与函数图像相结合，一般谈及零点存在问题，必　然最后要使用函数图像直观观察，用所变换而得的函数　令ｙ＝Ｊ［ｆ（ｘ）］一１＝０，ｘ＝ｌ（符合）．　交点来决定参数变量的范围．　本题中所给出的函数较为混杂，存在分数函数及二　次函数，甚至分数函数的分子未知数出现绝对值，显然无　法画出函数的图像，所以应当使用分离参数的基本思想使　之适当变形，将参变量与未知量分开与放在号两侧．仔细观　一（３）当ｘ＞ｌ时，ｙ＝ｆ￣Ａｘ）］一１　ｌｏｇ２ｘ）一１＝ｌｏｇ２（１ｏｇ￣ｘ）－１＝　１．　令ｙ＝ｆｆ（ｘ）］一１＝０，得　＝４（符合）．　所以，一共存在２个零点，分别为ｘ＝ｌ和　＝４．　点评：此题中直接用图像法应对复合函数显得并不　察题目易知ｘ＝Ｏ，即为其中一个零点，所以ｋ的范围只需满　可取，仔细观察原分段函数的特征，可以将本符合函数分　足存在且仅有第二个零点即可．将原函数适当转化：令厂（　）　为三段讨论．在将复合函数转化并且简化后方可求出所　兰－ｋｘＬ－Ｏ，易得后　，　１　·不过这样的函数　还是显得有些别扭，再作变形，可得÷＝ｌｘｌ（ｘ＋２）．因此，ｙｌ＝　有零点的准确值．　例３已知周期为４的函数　）：｛【、ｌ／　，　∈　一　，　］，　Ｉｘ－２１，　∈ｌ１，３　Ｊ，　－则方程　）　根的个数为——一　÷与　＝　ｃ　十２　＝｛　：：　；：：　：：的图像有　个交点，画出　ｙ２的图像，如图１：　．　１　解析：本题是一道有关周期函数的题目，因此只须画　出其中一个周期的图像即可．先将　）　转化　ｋ　）＝÷　结合图像可知÷＞１或÷＜０．　综上所述：Ｏ＜ｋ＜１或ｋ＜０，　即得正解．　点评：由上例题可知．在　图１　方便解题，作出图像，如图３：　观察图像知，有３个根．　点评：应对周期函数问题．　应当先画出其中一个周期的　遇到零点问题时活用图像法．将函数用分离参数或者通　过一系列的变化转化为浅显易懂的函数，画出图像，从而　使原本相对烦琐的函数问题迎刃而解．　函数图像，再寻找规律，通过图像直观分析出函数与函数　之间的交点的个数．交点的个数即为方程根的个数．　＠ｔＪ４（２０１５年江苏卷１３）已知函　）＝ｌｌ似ｌ，ｇ（　）＝　高中中’　擞·７■■一教学　参谋　解法探究　２０１８年３月　从逻辑推理角度对中学几何的研究　⑩江苏省梁丰高级中学李晓艳　逻辑推理与数学有着密不可分的关系，数、形都是　人类在实践过程中抽象出来的概念，其数学对象表现形　品，这些物品的出现为人们提供了相互比较的机会，获　取了具有抽象意义的几何图形及能力，从而创建了几何　式非常简单，与其他事物的物理性质没有联系，只单纯　地表现出客观的事物特征及空间关系和形式，也就是说　概念，在我们的生活过程中，处处充满着立体几何．　２．几何课程改革现状　其是说明事理最理想的模型．逻辑推理的依据具有不同　的思维方向，并且归纳整理、类比推理及演绎推理都各　有不同，目前最严谨的就是演绎推理　一我国《中学数学教学大纲》自制定到目前已经经历　了多次修改，这就体现了我国教育部门对于数学教育的　改革在不断地探索，对于现实社会的需求及社会的未来　发展，选取在数学领域具有较高应用价值的知识，调整　、几何意义及课程改革现状　其内容结构．在新课程标准中，高中数学的改革满足了　人们的发展需求及社会进步的需求，首先，要求学生具　有数学基本知识、技能及思想；另外，提高学生演绎证　１．几何学的意义　几何具有较高的实用价值及自然价值．由于现实世　界中人们所看到的物体都是物质形态，比数量关系更加　直接和具体．形在自然中表示物体存在的外壳，能够为　人们直接提供临摹．自然界中没有标准的几何图形，但　是在生活及实践过程中，人们不断构造出多种形状的物　明、直觉猜想、空间想象、运算求解、体系构建等能力；最　后，要求学生具有提出、分析及解决问题的能力，并且具　有创新意识及数学应用能力．　几何教育的主要价值就是：通过使学生学习立体几　解法二：由Ｊ厂（　）＋ｇ（　）Ｉ＿１可　）＋ｇ（　）＝±１，即ｇ（　）　解析：本题中所给出的　）与ｇ（　）图像都可以通过解　＿厂（　）±１，原问题就等价于函数ｙ＝ｇ（ｘ）与ｙ＝＿厂（　）＋１　１．＝贝ｆＪ方程　）Ｉ＝１实根个数为一　案是肯定的．由此我们可以得出解法二：　析式较易绘出，但由于　）　（　）ｌ存在绝对值，且两者相　或ｙ＝ｇ（ｘ）与＿ｙ＝－ｆ＜ｘ）－ｉ的图像的交点个数问题，可在同一　加即成为超越函数，因而图像无法画出．对于超越函数，　平面直角坐标系中作数ｙ＝ｇ（ｘ），　＝　第一想法就是求导，通过导函数的图像来解决原函数的　图像，如图４所示：　实根个数问题．由此可有解法一：　ｙ＝ｇ（ｘ）与ｙ：　）＋１有２个　）一１有２　０　‘　）＋１，ｙ＝＿厂（　）一１的　Ｙ　解法一：不妨设ｈ（ｘ）　）十ｇ（　）　厂【　）＋ｇ（　）＝±１，分段　交点，ｙ＿ｇ（　）与ｙ＝　ｒ＼＼ｙ　）　ｙ＝－＝　）．　图４　考虑函数：当Ｏ＜ｘ≤１时，ｈ（　）＝一ｌｎｘ，ｈ（　）的值域为［０，　个交点．　＋∞），且该函数单调递减，故存在１个实根；当１　≤２，ｈ（ｘ）＝　ｌ　＋２，那么对ｈ（ｘ）进行求导，ｈ　（　）＝　一　＝　＜０，　综合上述，由图像可知，　方程有４个实根．　点评：这类实根问题，如果遇见高次或超越型的函数．　所以函数单调递减，因此函数ｈ（ｘ）的值域为［１ｎ２—２，１），　在无法直接利用图像进行明确表示时。可直接利用导数　又因为ｌｎ２—２＜一１，故存在一个实根；当ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ２－６，该　进行分段讨论：当然也可以对该方程进行适当变形。通过　函数在（２，＋∞）上单调递增，函数的值域为（１ｎ２—２，＋∞），　图像观察两个函数图像的交点，同样也可以视作该方程　故存在２个实根．综上所述，该方程一共存在４个实根．　的实根．一种题目未必只存在一种解决方案．可以通过代　此法是利用导数研究函数的零点，是导数在函数中　数运算和几何方法同时进行解决．口　的应用．那是否可以用直观的图像法来解决实根问题？答　■—ｌ中‘？擞，？高中