一、选择题（共40小题；共200分）
1. 若复数 (𝑎2−3𝑎+2)+(𝑎−1)i 是纯虚数，则实数 𝑎 的值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 1 或 2
D. −1
2. 在复数范围内，方程 𝑥2=−3 的解是 ( )
A. ±√3 A. −2
B. −3 B. 2
2
C. ±√3i C. −2i
2
D. ±3i D. 2i
3. 设 i 是虚数单位，复数 1−2i 的虚部是 ( )
4. 若复数 2−𝑏i(𝑏∈𝐑) 的实部与虚部之和为零，则 𝑏 的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. −3 D. −2
1
5. 已知 i 为虚数单位，复数 𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 的虚部 𝑏 记作 Im(𝑧)，则 Im(1+i)= ( )
A. −2 ( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 7. 已知复数 𝑧 满足 𝑧=
A. 第一象限
10i3+i1+i
1
B. −1
C. 2
1
D. 1
6. 已知 𝑧=𝑚2−1+(𝑚2−3𝑚+2)i，（𝑚∈𝐑，i 为虚数单位），则“𝑚=−1”是“𝑧 为纯虚数”的
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
（i 为虚数单位），则复数 𝑧 所对应的点所在象限为 ( ) B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8. 在复平面内，复数 3+i 对应的点的坐标为 ( )
A. (1,3)
B. (3,1)
C. (−1,3)
1
D. (3,−1)
9. 若复数 𝑧=𝑎2−1+(𝑎+1)i(𝑎∈𝐑) 是纯虚数，则 𝑧+𝑎 的虚部为 ( )
A. −5 A. −1 或 3
2
B. −5i B. 0
3−2i1+i
2
C. 5 C. 3
2
D. 5i D. −1
2
10. 已知复数 𝑧=(𝑥2−2𝑥−3)+(𝑥−3)i（𝑥∈𝐑，i 为虚数单位）为纯虚数，则 𝑥 的值为 ( )
11. 已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数
A. 第一象限
B. 第二象限
12
对应的点所在的象限是 ( )
C. 第三象限
12
D. 第四象限
12. 若复数 𝑧=2𝑚2−3𝑚−2+(𝑚2−3𝑚+2)i 是纯虚数，则实数 𝑚 的值为 ( )
A. 1 或 2
1+2i
B. − 或 2 C. − D. 2
13. 设复数 𝑧=(1−i)2，则 𝑧 的虚部是 ( )
A. 2 A. 4 31
B. 2i B. 3 4
1
C. −2 C. −3
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4
1
D. −2i D. −4
3
1
14. 已知复数 𝑧1=3+4i，𝑧2=𝑡+i，且 𝑧1⋅𝑧2 是实数，则实数 𝑡 等于 ( )
A. −1
16. 设 𝑖 是虚数单位，若
A. −2
15. 设 i 为虚数单位，复数
𝑎+2i1+i
为纯虚数，则实数 𝑎 的值为 ( )
C. −2
D. 2
B. 1
2−𝑚𝑖1+𝑖
为纯虚数，则实数 𝑚 的值为 ( ) B. 2
C. 21
D. −
2
1
17. 设 i 为虚数单位，若复数 𝑧=(𝑚2+2𝑚−8)+(𝑚−2)i 是纯虚数，则实数 𝑚= ( )
A. 2
B. −4 或 2
C. 2 或 −4
D. −4
18. 若复数 𝑧 满足 i𝑧=1+i，则 𝑧 的虚部为 ( )
A. 1
19. 在复平面内复数 𝑧=
A. 0
𝑎i+11−i
B. −1 C. 𝑖 D. −𝑖
对应的点在第一象限，则实数 𝑎 的取值可以为 ( ) B. 1
C. −1
D. 2
20. 下列命题中：（1）任何两个复数，都不能比较大小；（2）复数 𝑧=𝑎2−𝑏2+2𝑎𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 是
纯虚数的充要条件是 𝑎=±𝑏；（3）复数 𝑎+𝑏i=𝑐+𝑑i 的充要条件是 𝑎=𝑐 且 𝑏=𝑑(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈𝐑)．其中真命题的个数是 ( )
A. 0 A. −3
B. 1 B. 1
C. 2 C. −3 或 1
D. 3 D. −1 或 3
21. 若复数 𝑧=(𝑥2+2𝑥−3)+(𝑥+3)i 为纯虚数，则实数 𝑥 的值为 ( )
22. 𝑎=0 是复数 𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 为纯虚数的 ( )
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
23. 如果复数 (𝑚2+i)(1+𝑚i) 是实数，则实数 𝑚= ( )
A. 1 24. 若复数 𝑧=
A. 1 A. −1
1−√2ii
B. −1
，则 𝑧 的虚部为 ( )
B. −1 B. 4
C. √2 D. −√2 C. i C. −1 或 4
D. −i D. 不存在
25. 若复数 (𝑚2−3𝑚−4)+(𝑚2−5𝑚−6)i 是纯虚数，则实数 𝑚 的值为 ( )
26. 已知 𝑎,𝑏∈𝐑，则 𝑎=𝑏 是复数 (𝑎−𝑏)+(𝑎+𝑏)i 为纯虚数的 ( )
A. 充要条件 C. 必要不充分条件 27. 有下列命题：
①若 𝑎∈𝐑，则 (𝑎+1)i 是纯虚数； ②若 𝑎,𝑏∈𝐑，且 𝑎>𝑏，则 𝑎+i>𝑏+i；
③若 (𝑥2−1)+(𝑥2+3𝑥+2)i 是纯虚数，则实数 𝑥=±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是 ( ) A. ①
B. ②
C. ③
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B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
D. ④
28. 复数 𝑧=(𝑚2+𝑚)+𝑚i（𝑚∈𝐑，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 𝑚 的值为 ( )
A. 0 或 −1
B. 0
C. 1
D. −1
29. 若 (𝑚2−𝑚)+(𝑚2−3𝑚+2)i 是纯虚数，则实数 𝑚 的值为 ( )
A. 1
5
B. 1 或 2 C. 0 D. 0，1，2
30. 复数 1−2i（i 为虚数单位）的虚部是 ( )
A. 2i
B. −2i
C. −2
D. 2
31. 已知 𝑎、𝑏∈𝐑，且 2+𝑎i 、 𝑏+3i(i是虚数单位) 是实系数一元二次方程 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0 的两
个根，那么 𝑝 、 𝑞 的值分别是 ( )
A. 𝑝=−4，𝑞=13 𝜆 的取值范围是 ( )
A. [−1,1]
B. [−
916
B. 𝑝=−4，𝑞=3 C. 𝑝=4，𝑞=−13 D. 𝑝=4，𝑞=3
32. 复数 𝑧1，𝑧2 满足 𝑧1=𝑚+(4−𝑚2)i，𝑧2=2cos𝜃+(𝜆+3sin𝜃)i(𝑚,𝜆,𝜃∈𝐑)，并且 𝑧1=𝑧2，则
,1]
C. [−
𝑎+i71+𝑎i
916
,7] D. [,7]
16
9
33. 若 𝑧=(𝑎−√2)+𝑎i 为纯虚数，其中 𝑎∈𝐑，则
A. i
B. 1
= ( )
D. −1
C. −i
34. 在下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①两个复数不能比较大小；
②复数 𝑧=i−1 对应的点在第四象限；
③若 (𝑥2−1)+(𝑥2+3𝑥+2)i 是纯虚数，则实数 𝑥=±1； ④若 (𝑧1−𝑧2)2+(𝑧2−𝑧3)2=0，则 𝑧1=𝑧2=𝑧3． A. 0 A. 1−2i
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
B. 1 B. 1+2i
C. 2 C. −1−2i B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
D. 3 D. −1+2i
35. 若复数 𝑧 满足 2𝑧+𝑧=3+2i，其中 i 为虚数单位，则 𝑧= ( ) 36. “𝑎=0”是“复数 𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 为纯虚数”的 ( )
37. 复数 𝑧=(𝑎+1)+(𝑎2−3)i，若 𝑧<0，则实数 𝑎 的值是 ( )
A. √3 A. 1+2i A. −3
5
B. 1 B. 1−2i B. −2
2
C. −1 C. −1+2i C. 2
2
D. −√3 D. −1−2i D. 3
5
38. 若复数 𝑧 满足 2𝑧+𝑧=3−2i 其中 i 为虚数单位，则 𝑧= ( ) 39. 设 (1+2i)(𝑎+i) 的实部与虚部相等，其中 𝑎 为实数，则 𝑎= ( ) 40. 复数 𝑧=(sin𝜃−2cos𝜃)+(sin𝜃+2cos𝜃)i 是纯虚数，则 sin𝜃cos𝜃= ( )
A. −2
B. −5
C. 5 D. 2
二、填空题（共40小题；共200分）
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41. 在下列复数：1−√3i，(1−√3)i，−√3i2，(1−√3)i2，2i−√3，2i2−√3 中，实数
有 个，虚数有 个，纯虚数有 个． 42. 若复数 𝑎+i 是纯虚数，则实数 𝑎= ． 43. 复数的有关概念
（1）形如① (𝑎,𝑏∈𝐑) 的数叫做复数．复数通常用字母 𝑧 表示，即 𝑧=𝑎+𝑏i，其中 𝑎 与 𝑏 都是实数，𝑎 叫做复数 𝑧 的实部，𝑏 叫做复数 𝑧 的虚部．
对于复数 𝑎+𝑏i (𝑎,𝑏∈𝐑)，当且仅当 𝑏=0 时，它是实数；当 𝑏≠0 时，叫做虚数；当② 时，叫做纯虚数． （2）复数的相等
如果 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 是实数，那么 𝑎+𝑏i=𝑐+𝑑i⇔𝑎=𝑐 且 𝑏=𝑑；𝑎+𝑏i=0⇔ ③ ．
11+i)2
44. 复数 (
的虚部是 ．
45. 以 3i−√3 的虚部为实部，以 3i2+√2i 的实部为虚部的复数是 ． 46. 当 𝑚= 时，复数 𝑧=(𝑚−1)+(𝑚−1)(𝑚+2)i 的值为零． 47. 复数 𝑧 在复平面内对应的点是 (1,−1)，则 𝑧= ．
48. 以 √2i+√2 的虚部为实部，并以 √7i−5 的实部为虚部构成新的复数是 ． 49. 𝑎=0 是复数 𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 为纯虚数的 ( ) 条件（填“必要”、“充分”、“充要”）． 50. 复数 −√5i 的实部是 ( )，虚部是 ( )．
51. 已知 3−4i=𝑥+𝑦i，𝑥,𝑦∈𝐑，则 𝑥= ( )，𝑦= ( )． 52. 若复数 𝑧=(𝑚2−5𝑚+6)+(𝑚−3)i 是实数，则实数 𝑚= ． 53. 若 𝑧1=𝑎+2i，𝑧2=1−i，且 𝑧1𝑧2 为纯虚数，则实数 𝑎 的值为 ．
54. 如果复数 𝑥−1+𝑦i 与 i−3𝑥 为相等复数，𝑥，𝑦 为实数，则 𝑥= ，𝑦= ． 55. 复数 𝑧=(𝑎−3)+(𝑏−2)i(𝑎,𝑏∈𝐑) 在复平面内对应的点为坐标原点，则 𝑎+𝑏= ． 56. 复数 (𝑎2−𝑎−2)+(∣𝑎−1∣−1)i(𝑎∈𝐑) 是纯虚数，则 𝑎= ． 57. 若复数 𝑧=(2+i)𝑚2−1−i−2(1−i) 为纯虚数，则 𝑚 的值是 ． 58. 已知复数 𝑧=4−3i（i 为虚数单位），则复数 𝑧+5i 的虚部为 ． 59. 已知 (1+i)=𝑎+𝑏i，（𝑎,𝑏∈𝐑，i 为虚数单位），则 𝑎+𝑏= ． 60. 若复数 (2+𝑎i)2 (𝑎∈𝐑) 是实数，则 𝑎= ． 61. 若复数
1+i1−i
2−𝑏i1+i22
6𝑚
（𝑏∈𝐑）为纯虚数，则 𝑏= ．
62. 复数 (1+i)2=𝑎+𝑏i（𝑎，𝑏 是实数，i 是虚数单位），则 𝑎+𝑏 的值为 ． 63. 设
=𝑎+𝑏i（i 为虚数单位，𝑎,𝑏∈𝐑），则 𝑎𝑏 的值为 ．
64. 若复数 𝑧 满足 i(𝑧+1)=−3+2i（i 为虚数单位），则 𝑧 的实部是 ． 65. 已知复数 𝑧=(1+3i)i（i 是虚数单位），则 𝑧 的实部是 ． 66. −1 的平方根是 ．
67. 复数 (1+i)𝑚2−(3+5i)𝑚−2(2+3i) 是纯虚数时，实数 𝑚 的取值是 ( )． 68. 若复数 1−2i+𝑚（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 𝑚= ．
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5
69. 已知复数 𝑧=1+i（i 是虚数单位），则 𝑧 的虚部是 ．
70. 已知 𝐴={1,2,(𝑎2−3𝑎−1)+(𝑎2−5𝑎−6)i}，𝐵={−1,3}，𝐴∩𝐵={3}，则实数 𝑎 的值
为 ．
71. 已知复数 𝑧1=(𝑎2−2)+(𝑎−4)i，𝑧2=𝑎−(𝑎2−2)i(𝑎∈𝐑)，且 𝑧1−𝑧2 为纯虚数，则
𝑎= ．
72. 已知集合 𝑀={1,2,(𝑚2−3𝑚−1)+(𝑚2−5𝑚+6)i}，𝑚∈𝐑，𝑁={−1,3}，满足 𝑀∩𝑁≠∅，
则实数 𝑚= ．
73. 复数 𝑧1，𝑧2 满足 𝑧1=𝑚+(4−𝑚2)i，𝑧2=2cos𝜃+(𝜆+3sin𝜃)i(𝑚,𝜆,𝜃∈𝐑)，且 𝑧1=𝑧2，则 𝜆
的取值范围是 ．
74. 关于 𝑥 的方程 𝑥2+(𝑘+i)𝑥−2−𝑘i=0（𝑥∈𝐑，i 为虚数单位）有实数根，则实数 𝑘 的值
为 ．
75. 若复数 𝑧+i 是纯虚数，且 ∣𝑧∣=1，则 𝑧 等于 ．
76. 若 𝑎，𝑏 为非零复数，有下列命题：① 𝑎+𝑎≠0；② (𝑎+𝑏i)2=𝑎2+2𝑎𝑏i−𝑏2；③若 ∣𝑎∣=∣𝑏∣，
则 𝑎=±𝑏；④若 𝑎2=𝑎𝑏，则 𝑎=𝑏．上述命题恒成立的是 ．（写出所有正确命题的序号）
77. 设 𝑧1 是复数，𝑧2=𝑧1−i𝑧1 （ 其中 𝑧1 表示 𝑧1 的共轭复数），已知 𝑧2 的实部是 −1，则 𝑧2 的虚
部为 ．
78. 若复数 𝑧 满足 𝑧=∣𝑧∣−3−4i，则复数 𝑧= ． 79. 设 ∣𝑧∣=5，且 𝑧+4i>0，则复数 𝑧= ．
80. 负数 z=𝑎+𝑏i，𝑏∈𝐑 ，且 𝑏≠0 .若 z2−4𝑏z 是实数，则有序实数对 (𝑎,𝑏) 可以
是 ．（写出一个有序实数对即可）
1
3−i
三、解答题（共20小题；共260分） 81. 指出下列各复数的实部和虚部：
（1）𝑧=4−5i （2）𝑧=−i
21
（3）𝑧=√2+√7
（4）𝑧=10i−4
82. 已知 (3−10i)𝑦+(−2+i)𝑥=1−9i，求实数 𝑥，𝑦 的值.
83. 设复数 𝑧=(𝑚2−2𝑚−3)+(𝑚2+3𝑚+2)i，试求实数 𝑚 的取值，使得：
（1）𝑧 是纯虚数；
（2）𝑧 对应的点位于复平面的第二象限．
84. 实数 𝑚 取什么值时，复数 ln(𝑚2−2𝑚−2)+(𝑚2+3𝑚+2)i：
（1）是纯虚数?
（2）是实数?
(2𝑥−1)+i=𝑦−(3−𝑦)i,
85. 已知关于 𝑥，𝑦 的方程组 { 有实数解．求实数 𝑎，𝑏 的值．
(2𝑥+𝑎𝑦)−(4𝑥−𝑦+𝑏)i=9−8i
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86. 已知复数 𝑧=(𝑚2−5𝑚+6)+(𝑚2−3𝑚)i，求当 𝑚 为何值时，复数 𝑧 是：
（1）零? （2）虚数?
（3）纯虚数? 87. 复数 𝑧1=
3𝑎+5
+(10−𝑎2)i，𝑧2=
21−𝑎
+(2𝑎−5)i，若 𝑧1+𝑧2 是实数，求实数 𝑎 的值.
88. 已知 (𝑚2−1)+(𝑚2−2𝑚)i>0，求实数 𝑚 的值． 89. 设 𝑧=(𝑥2−4𝑥+3)+(𝑥2−5𝑥+6)i，𝑥∈𝐑，i2=−1．
（1）若 𝑧∈𝐂，则 𝑥 的取值范围是 ； （2）若 𝑧 为纯虚数，则 𝑥 的取值范围是 ； （3）若 𝑧∈𝐂 且 𝑧∉𝐑，则 𝑥 的取值范围是 ；
（4）设集合 𝐴={𝑧∣ 𝑧=𝑎i,𝑎∈𝐑,i2=−1}，若 𝑧∈𝐴，则 𝑥 的取值范围是 ． （1）第一或三象限?
90. 当实数 𝑚 取何值时，复数 (𝑚2−8𝑚+15)+(𝑚2−5𝑚−14)i 的对应点位于
（2）第四象限?
91. 实数 𝑎 分别取什么值时，复数 𝑧=
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．
92. 已知 2𝑧+∣𝑧∣=2+6i，求 𝑧．
93. 若复数 𝑧=𝑎+3i 满足条件 ∣𝑧−2∣<2，求实数 𝑎 的取值范围． 94. 当实数 𝑚 为何值时，𝑧=
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数?
95. 当实数 𝑚 为何值时，𝑧=
𝑚2−𝑚−6𝑚−1𝑚2−𝑚−6𝑚−1
𝑎2−𝑎−6𝑎+3
+(𝑎2−2𝑎−15)i 是
+(𝑚2+𝑚−2)i 是：
+(𝑚2+𝑚−2)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数?
96. 已知 𝑥 为实数，是否存在实数 𝑎 使得复数 𝑧1=3𝑥2+(𝑥−𝑎+1)2i 和 𝑧2=27+(𝑥2+𝑎−𝑎𝑥−
1)i 满足关系 𝑧1>𝑧2?若存在，求出 𝑎 的取值或取值范围；若不存在，说明理由. 97. 实数 𝑚 取什么值时，复数 lg(𝑚2−2𝑚−2)+(𝑚2+3𝑚+2)i 分别是
（1）纯虚数； （2）实数． 98. 已知 𝑧=1+i．
（1）设 𝜔=𝑧2+3𝑧−4，求 𝜔；
𝑧2+𝑎𝑧+𝑏𝑧2−𝑧+1
（2）如果 =1−i，求实数 𝑎，𝑏 的值．
1
99. 设 𝑧 是虚数，𝜔=𝑧+𝑧 是实数，且 −1<𝜔<2．
（1）求 ∣𝑧∣ 的值及 𝑧 的实部的范围；
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（2）设 𝜇=
1−𝑧1+𝑧
，求证：𝜇 为纯虚数．
100. 分别求满足下列条件的复数 𝑧：
（1）𝑧+𝑧+3−4i=5−𝑧；
（2）𝑧+5+6i=𝑧−4i+5，且 ∣𝑧∣=5．
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答案
第一部分 1. B 2. C 4. A
【解析】由纯虚数的定义知，𝑎2−3𝑎+2=0 且 𝑎−1≠0，所以 𝑎=2． 3. A 5. A
【解析】复数 1−2i 的虚部是 −2．
1
1−i
1
1
【解析】因为 1+i=(1+i)(1−i)=2−2i， 所以 Im(1+i)=−2． 6. C 8. A
7. D 9. A
【解析】𝑧=1+i=(1−i)(1+i)=
3+i
(3+i)(1−i)
4−2i2
1
1
=2−i，对应的坐标为 (2,−1)，位于第四象限．
𝑎2−1=0,
【解析】由题意得 {
𝑎+1≠0,
1−2i
1
2
所以 𝑎=1，
所以 𝑧+𝑎=1+2i=(1+2i)(1−2i)=5−5i， 根据虚部的概念，可得 10. D
11. D 12. C 13. A 【解析】𝑧=14. A 15. C
𝑎+2
1+2i−2i
1𝑧+𝑎
1
1
的虚部为 − .
5
2
=−1+2i，故 𝑧 的虚部为 2．
=0,≠0
11
【解析】由题设得，
𝑎+2i1+i
=
𝑎+22
+
2−𝑎
2
i，则 {2−𝑎2
2
⇒𝑎=−2． =
(1+𝑎i)(1+i)(1−i)(1+i)16. B 17. D 18. B 19. A 【解析】因为 𝑧=1−𝑎>0所以 {，即 −1＜𝑎＜1．
𝑎+1>0
所以实数 𝑎 的取值可以为 0． 20. B
21. B 22. B 23. B 24. B 【解析】因为 𝑧=所以 𝑧 的虚部为 −1． 25. B
𝑚2−3𝑚−4=0,
【解析】由条件知 {2
𝑚−5𝑚−6≠0,𝑚=−1或𝑚−4,所以 {
𝑚≠−1或𝑚≠6.所以 𝑚=4．
𝑎i+11−i
=
1−𝑎2
+
𝑎+12
i 对应的点在第一象限，
1−√2ii
=
i−√2i2i2=
i+√2−1
=−i−√2，
26. C 【解析】当 𝑎=𝑏=0 时，复数 (𝑎−𝑏)+(𝑎+𝑏)i 为 0，是实数，故 A，B不正确． 𝑎+𝑏≠0,
由 (𝑎−𝑏)+(𝑎+𝑏)i 为纯虚数，知 { 解得 𝑎=𝑏≠0，
𝑎−𝑏=0,
所以 𝑎=𝑏 是复数 (𝑎−𝑏)+(𝑎+𝑏)i 为纯虚数的必要不充分条件．
27. D 【解析】对于复数 𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑)，当 𝑎=0 且 𝑏≠0 时，为纯虚数．
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在①中，若 𝑎=−1，则 (𝑎+1)i 不是纯虚数，故①错误；
在③中，若 𝑥=−1，则 (𝑥2−1)+(𝑥2+3𝑥+2)i=0，不是纯虚数，故③错误； 两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确． 28. D 【解析】因为 𝑧 为纯虚数， 𝑚2+𝑚=0,所以 { 所以 𝑚=−1．
𝑚≠0,29. C 30. D
【解析】复数 1−2i=12−(2i)2=1+2i， 所以虚部为 2．
𝑎=−3,
31. A 【解析】法一：由复数根成对出现可知 {．
𝑏=2,
2+𝑎i+𝑏+3i=−𝑝,
法二：由根与系数的关系知 {
(2+𝑎i)⋅(𝑏+3i)=𝑞而此方程又是实系数方程， 所以 𝑝 和 𝑞 是实数，
2+𝑎i+𝑏+3i∈𝐑,故 {
(2+𝑎i)⋅(𝑏+3i)∈𝐑,𝑎=−3,解得 {
𝑏=2.
𝑚=2cos𝜃,
32. C 【解析】由复数相等的充要条件可得 {
4−𝑚2=𝜆+3sin𝜃,化简得 4−4cos2𝜃=𝜆+3sin𝜃， 由此可得，
𝜆=−4cos2𝜃−3sin𝜃+4
=−4(1−sin2𝜃)−3sin𝜃+4 =4sin2𝜃−3sin𝜃 =4(sin𝜃−)−,
816因为 sin𝜃∈[−1,1]，
所以 4sin2𝜃−3sin𝜃∈[−16,7]． 33. C 34. A 35. B
【解析】设 𝑧=𝑎+𝑏i，则 2(𝑎+𝑏i)+(𝑎−𝑏i)=3𝑎+𝑏i=3+2i，故 3𝑎=3，𝑏=2，即 𝑧=1+2i． 36. B 【解析】当 𝑎=0 时，复数 𝑎+𝑏i=𝑏i，不一定是纯虚数， 当 𝑏=0 时，复数为 0，充分性不成立；
当复数 𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑) 为纯虚数时，𝑎=0，必要性成立． 故为必要不充分条件．
37. D 38. B 【解析】设 𝑧=𝑎+𝑏i，则 2𝑧+𝑧=3𝑎+𝑏i=3−2i，故 𝑎=1，𝑏=−2，则 𝑧=1−2i．
39. A 【解析】由题意 (1+2i)(𝑎+i)=𝑎−2+(1+2𝑎)i，实部与虚部相等，则有 𝑎−2=1+2𝑎，解得 𝑎=−3． 40. C
9
32
9
5
5(1+2i)
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第二部分 41. 3，3，1 42. 0
43. 𝑎+𝑏i，𝑎=0 且 𝑏≠0；𝑎=0 且 𝑏=0 44. −2 45. 3−3i 46. 1 47. 1+i 48. √2−5i 49. 必要 50. 0，−√5 51. 3，−4 52. 3
【解析】由题意，得 𝑚−3=0，所以 𝑚=3． 53. −2
【解析】析因为 𝑧1𝑧2=(𝑎+2i)(1−i)=(𝑎+2)−(𝑎−2)i 为纯虚数，所以 𝑎+2=0，且 𝑎−2≠0，所以 𝑎=−2． 54. 4，1
𝑥−1=−3𝑥,𝑥=4,
【解析】由复数相等可知 { 所以 {
𝑦=1,𝑦=1.55. 5
𝑎−3=0,𝑎=3,
【解析】由题意知 { 解得 {
𝑏−2=0,𝑏=2.所以 𝑎+𝑏=5． 56. −1 57. − 21
1
11
58. 8
【解析】由题得 𝑧=4+3i，则 𝑧+5i=4+8i，故虚部为 8． 59. −7
【解析】因为 𝑎+𝑏i=(1−2i)2=−3−4i，所以 𝑎=−3，𝑏=−4，故 𝑎+𝑏=−7． 60. 0 61. 2 62. 2
【解析】(1+i)2=2i=𝑎+𝑏i，根据复数相等的定义，则有 𝑎=0，𝑏=2，所以 𝑎+𝑏 的值为 2． 63. 0
【解析】解法 1：因为 1−i=(1−i)(1+i)=𝑎=0，𝑏=1，于是 𝑎𝑏=0．
1+i
(1+i)2
2i2
=i，又因为 1−i=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑)，所以 𝑎+𝑏i=i，从而
1+i
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解法 2：因为 1−i=𝑎+𝑏i，所以 1+i=(1−i)(𝑎+𝑏i)，即 1+i=(𝑎+𝑏)+(𝑏−𝑎)i(𝑎,𝑏∈𝐑)，所以 𝑎=0,𝑎+𝑏=1,
{ 解得 { 于是 𝑎𝑏=0．
𝑏=1,𝑏−𝑎=1,
64. 1
【解析】因为 i(𝑧+1)=−3+2i，所以 i2(𝑧+1)=−3i−2，即 −(𝑧+1)=−3i−2，所以 𝑧+1=2+3i，所以 𝑧=1+3i．故 𝑧 的实部是 1 . 65. −3
【解析】𝑧=(1+3i)i=i+3i2=−3+i，所以 𝑧 的实部是 −3． 66. ±i 67. 4 68. −1
【解析】因为 1−2i+𝑚=(1−2i)(1+2i)+𝑚=1+𝑚+2i 为纯虚数，所以 1+𝑚=0，解得 𝑚=−1． 69. −2
【解析】因为 𝑧=(70. −1
【解析】由题意知 𝑎2−3𝑎−1+(𝑎2−5𝑎−6)i=3， 𝑎2−3𝑎−1=3,所以 {2 解得 𝑎=−1．
𝑎−5𝑎−6=0,71. −1
【解析】𝑧1−𝑧2=(𝑎2−𝑎−2)+(𝑎−4+𝑎2−2)i(𝑎∈𝐑) 为纯虚数， 𝑎2−𝑎−2=0,所以 {2
𝑎+𝑎−6≠0,解得 𝑎=−1． 72. 3
【解析】由 𝑀∩𝑁≠∅，
𝑚2−3𝑚−1=3,𝑚2−3𝑚−1=−1,所以 {2 或 {2
𝑚−5𝑚+6=0,𝑚−5𝑚+6=0.解得 𝑚=3． 73. [−
916
(3−i)(1−i)
1+i)(1−i)5
5(1+2i)
1+i
=
2−4i2
=1−2i，所以复数 𝑧 的虚部是 −2．
,7]
𝑚=2cos𝜃,
【解析】由复数相等的充要条件可得 {
4−𝑚2=𝜆+3sin𝜃,化简得 4−4cos2𝜃=𝜆+3sin𝜃，
由此可得 𝜆=4sin2𝜃−3sin𝜃=4(sin𝜃−8)−16． 因为 sin𝜃∈[−1,1]， 所以 𝜆∈[−16,7]． 74. ±1 75. i 76. ②④
9
32
9
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【解析】令 𝑎+=0，得 𝑎=±i，所以存在非零复数 𝑎=±i，使得 𝑎+=0，①不成立；②显然成
𝑎
𝑎
11
立；对于③，在复数集 𝐂 中，∣1∣=∣i∣，所以③不成立；④显然成立，故选②④． 77. 1
【解析】设 𝑧1=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑)，
则 𝑧2=𝑎+𝑏i−i(𝑎−𝑏i)=(𝑎−𝑏)+(𝑏−𝑎)i， 因为 𝑎−𝑏=−1， 所以 𝑏−𝑎=1． 所以 𝑧2 的虚部是 1 78. 6−4i
【解析】设复数 𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝐑)，
22则 {𝑎=√𝑎+𝑏−3,
𝑏=−4,
7
𝑎=6,所以 {
𝑏=−4.所以 𝑧=−4i．
67
7
79. 3−4i
【解析】设 𝑧=𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈𝐑)． 因为 ∣𝑧∣=5， 所以 𝑥2+𝑦2=25，
因为 𝑧+4i=𝑥+(𝑦+4)i∈𝐑， 所以 𝑦=−4， 所以 𝑥=±3， 所以 𝑧+4i=±3， 又 𝑧+4i>0， 所以 𝑧+4i=3． 所以 𝑧=3−4i． 80. (2,1)
【解析】因为 z2−4𝑏𝑧=(𝑎+𝑏i)2−4𝑏(𝑎+𝑏i)=𝑎2−𝑏2−4𝑎𝑏+(2𝑎𝑏−4𝑏2)i 是实数， 所以 2𝑎𝑏−4𝑏2=0， 所以 𝑎=2𝑏，
所以有序实数对 (𝑎,𝑏) 可以是 (2,1)． 第三部分
81. （1） 𝑅𝑒𝑧=4，𝐼𝑚𝑧=−5 ； （2） 𝑅𝑒𝑧=0，𝐼𝑚𝑧=− ；
21
（3） 𝑅𝑒𝑧=√2+√7，𝐼𝑚𝑧=0 ； （4） 𝑅𝑒𝑧−4，𝐼𝑚𝑧=10 ；
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82. 由 (3−10i)𝑦+(−2+i)𝑥=1−9i，得 (3𝑦−2𝑥)+(𝑥−10𝑦)i=1−9i，故 3𝑦−2𝑥=1，−10𝑦+𝑥=−9，解之得 𝑥=1，𝑦=1． 83. （1） 因为 𝑧 是纯虚数，
𝑚=−1或𝑚=3,𝑚2−2𝑚−3=0,
所以 {2⇒{ 得 𝑚=3．
𝑚+3𝑚+2≠0𝑚≠−1且𝑚≠−2, （2） 因为 𝑧 对应的点位于复平面的第二象限，
−1<𝑚<3,𝑚2−2𝑚−3<0,所以 {2⇒{ 得 −1<𝑚<3．
𝑚>−1或𝑚<−2,𝑚+3𝑚+2>084. （1） 是纯虚数时有
𝑚=3或𝑚=−1,ln(𝑚2−2𝑚−2)=0,
{2 ⇒ { ⇒𝑚=3． 𝑚+3𝑚+2≠0,𝑚≠−1且𝑚≠−2. （2） 是实数时有
𝑚>1+√3或𝑚<−1−√3,𝑚2−2𝑚−2>0, {2 ⇒ { ⇒ 无解． 𝑚+3𝑚+2=0,𝑚=−1或𝑚=−2.2𝑥−1=𝑦,𝑥=,
2 85. 由 (2𝑥−1)+i=𝑦−(3−𝑦)i 有 {⇒{
1=−(3−𝑦)𝑦=4.将上述结果代入第二个等式 (2𝑥+𝑎𝑦)−(4𝑥−𝑦+𝑏)i=9−8i 中得 5+4𝑎=9,𝑎=1,
5+4𝑎−(10−4+𝑏)i=9−8i⇒{⇒{
𝑏=2.10−4+𝑏=8
𝑚2−5𝑚+6=0,
86. （1） 是零时有 {2⇒𝑚=3．
𝑚−3𝑚=0
（2） 是虚数时有 𝑚2−3𝑚≠0⇒𝑚≠0 且 𝑚≠3． 𝑚2−5𝑚+6=0,
（3） 是纯虚数时有 {2⇒𝑚=2．
𝑚−3𝑚≠0
𝑧1+𝑧287.
=𝑎+5+(𝑎2−10)i+1−𝑎+(2𝑎−5)i=(𝑎+5+1−𝑎)+[(𝑎2−10)+(2𝑎−5)]i =(
𝑎−13
+
𝑎+5)(𝑎−1)3
2
3
2
5
(𝑎2+2𝑎−15)i.
因为 𝑧1+𝑧2 是实数， 所以 𝑎2+2𝑎−15=0， 解得 𝑎=−5 或 𝑎=3 . 因为 𝑎+5≠0， 所以 𝑎≠−5， 故 𝑎=3 .
88. 由题意知 (𝑚2−1)+(𝑚2−2𝑚)i 应为实数， 从而转化为实数不等式组求解， 𝑚2−1>0,
由题意，得 {2 得 𝑚=2．
𝑚−2𝑚=0,89. （1）𝐑； （2）𝑥=1；
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（3）𝑥∈(−∞,2)∪(2,3)∩(3,+∞) （4）𝑥=1 或 𝑥=3
【解析】由 𝑧=(𝑥2−4𝑥+3)+(𝑥2−5𝑥+6)i，𝑥∈𝐑，i2=−1． （1）若 𝑧∈𝐂，则 𝑥 的取值范围是 𝐑．
𝑥2−4𝑥+3=0,
（2）若 𝑧 为纯虚数，则 {2 故 𝑥=1．
𝑥−5𝑥+6≠0,（3）若 𝑧∈𝐂 且 𝑧∉𝐑，则 𝑥2−5𝑥+6≠0． 故 𝑥∈(−∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞)．
（4）设集合 𝐴={𝑧∣ 𝑧=𝑎i,𝑎∈𝐑,i2=01}，若 𝑧∈𝐴，则 𝑥2−4𝑥+3=0，故 𝑥=1 或 𝑥=3． 𝑚2−8𝑚+15<0,𝑚2−8𝑚+15>0,
90. （1） 由题意知 {2 或 {2
𝑚−5𝑚−14<0,𝑚−5𝑚−14>0即 {
𝑚>5或𝑚<3,
3<𝑚<5,
或 {
−2<𝑚<7,𝑚>7或𝑚<−2
所以 𝑚<−2 或 𝑚>7 或 3<𝑚<5．
故当 𝑚>7 或 𝑚<−2 或 3<𝑚<5 时，复数对应的点在第一或第三象限． 𝑚2−8𝑚+15>0,
（2） 由题意知 {2
𝑚−5𝑚−14<0,即 {𝑚>5或𝑚<3,
−2<𝑚<7,
所以 −2<𝑚<3 或 5<𝑚<7．
故当 −2<𝑚<3 或 5<𝑚<7 时，复数对应的点在第四象限． 91. （1） 实部
𝑎2−𝑎−6𝑎+3
(𝑎+2)(𝑎−3)
𝑎+3
=，
虚部 𝑎2−2𝑎−15=(𝑎+3)(𝑎−5)． 当 𝑎=5 时，𝑧 是实数．
（2） 当 𝑎≠5，且 𝑎≠−3 时，𝑧 是虚数． （3） 当 𝑎=−2 或 𝑎=3 时是纯虚数．
92. 设 𝑧=𝑥+𝑦i(𝑥、𝑦∈𝐑)，代入已知方程，得 2(𝑥+𝑦i)+√𝑥2+𝑦2=2+6i， 即 (2𝑥+√𝑥2+𝑦2)+2𝑦i=2+6i，
2𝑥+√𝑥2+𝑦2=2,
由复数相等的充要条件，得 {
2𝑦=6,解得 𝑥=所以 𝑧=
4−√3134−√313
，𝑦=3， +3i．
93. 因为 ∣𝑧−2∣<2，所以 ∣𝑎+3i−2∣<2，即 √(𝑎−2)2+9<2． 显然，此不等式无解，所以 𝑎 的取值范围是 ∅．
𝑚−1≠0,
94. （1） 由 {2 得 𝑚=−2 .
𝑚+𝑚−1=0.2
（2） 由 {𝑚+𝑚−2≠0, 得 𝑚≠−2 且 𝑚≠1 .
𝑚−1≠0.
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𝑚2−𝑚−6
（3） 由 {
得 𝑚=3 .
𝑚+𝑚−2≠0.𝑚−1≠0,
95. （1）由 {2 得 𝑚=−2．
𝑚+𝑚−2=0,𝑚2+𝑚−2≠0,
（2）由 { 得 𝑚≠−2 且 𝑚≠1．
𝑚−1≠0,
𝑚−12
𝑚2−𝑚−6
=0,
（3）由 {
得 𝑚=3．
𝑚+𝑚−2≠0,
(𝑥−𝑎+1)2=0
96. 依题意有 {𝑥2+𝑎−𝑎𝑥−1=0
3𝑥2>27
解得 𝑎<−2 或 𝑎>4，故使得 𝑧1>𝑧2 的实数 𝑎 存在，且 𝑎<−2 或 𝑎>4．
𝑚−12
=0,
97. （1） 复数 lg(𝑚2−2𝑚−2)+(𝑚2+3𝑚+2)i 为纯虚数． 𝑚2−2𝑚−2=1,则 {2
𝑚+3𝑚+2≠0,𝑚=3 或 𝑚=−1,所以 {
𝑚≠−2 且 𝑚≠−1,所以 𝑚=3．
即 𝑚=3 时，lg(𝑚2−2𝑚−2)+(𝑚2+3𝑚+2)i 为纯虚数． 𝑚2−2𝑚−2>0, ⋯⋯①
（2） 复数为实数，则 {2
𝑚+3𝑚+2=0, ⋯⋯②解 ② 得 𝑚=−2 或 𝑚=−1， 代入 ① 检验知满足不等式，
所以 𝑚=−2 或 𝑚=−1 时，lg(𝑚2−2𝑚−2)+(𝑚2+3𝑚+2)i 为实数． 98. （1） 𝜔=(1+i)2+3(1−i)−4=2i+3−3i−4=−1−i． （2） 由题意得 𝑧2+𝑎𝑧+𝑏=(1−i)(𝑧2−𝑧+1)， (1+i)2+𝑎(1+i)+𝑏=(1−i)[(1+i)2−(1+i)+1]， 2i+𝑎+𝑎i+𝑏=(1−i)(2i−1−i+1)， 𝑎+𝑏+(2+𝑎)i=i+1．
𝑎+𝑏=1,𝑎=−1,从而 { 得 {
2+𝑎=1,𝑏=2.
99. （1） 𝑧=𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈𝐑,𝑦≠0)， 𝜔=𝑧+𝑧=(𝑥+𝑥2+𝑦2)+(𝑦−𝑥2+𝑦2)i． 因为 𝜔∈𝐑，且 𝑦≠0．
所以 𝑦−𝑥2+𝑦2=0，得 𝑥2+𝑦2=1． 所以 ∣𝑧∣=1，此时 𝜔=2𝑥． 由 −1<𝜔<2，得 −<𝑥<1．
21
𝑦1
𝑥
𝑦
（2） 因为 𝑧 为虚数，且 ∣𝑧∣=1． 所以 𝑧⋅𝑧=1，即 𝑧=𝑧．
1
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所以𝜇+𝜇
===
1−𝑧1+𝑧1−𝑧1+𝑧1−𝑧1+𝑧
+++
1−𝑧1+𝑧1𝑧11+𝑧1−
𝑧−11+𝑧
=0.
故 𝜇 为纯虚数．
100. （1） 设 𝑧=𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈𝐑)，代入方程得 2𝑥+3−4i=5−𝑥−𝑦i． 2𝑥+3=5−𝑥,𝑥=,
3 从而有 { 得 {
−4=−𝑦,𝑦=4.所以 𝑧=+4i．
32
2
（2） 设 𝑧=𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈𝐑)，代入方程得 𝑥+𝑦i+5+6i=𝑥−𝑦i−4i+5， 所以 𝑦+6=−𝑦−4，即 𝑦=−5． 又因为 ∣𝑧∣=5， 所以 𝑥=0． 所以 𝑧=−5i．
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