.2.会
[学习目标] 1.掌握三个平均速度公式及其适用条件，会应用平均速度公式求解相关问题推导Δx＝aT并会用它解决相关问题．
2
一、匀变速直线运动的平均速度公式[导学探究]
一物体做匀变速直线运动，初速度为
v0，经过一段时间末速度为
v.
(1)画出物体的v－t图象，求出物体在这段时间内的平均速度．(2)在图象中表示出中间时刻的瞬时速度答案
(1)v－t图象如图所示
tt
，并求出vv.(结果用v0、v表示) 22
因为v－t图象与t轴所围面积表示位移，v0＋v
x＝·t①
2平均速度xv＝②
t由①②两式得v0＋vv＝2.
t时间内物体的位移可表示为
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：[知识深化]
三个平均速度公式及适用条件
tv0＋vv＝. 22
x
1.v＝，适用于所有运动．
t
v0＋v
，适用于匀变速直线运动．2.v＝2t
3.v＝v，即一段时间内的平均速度，
2
等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，
1
适用于匀变速
直线运动．例1
某战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度
v所需时间为
前的运动距离为()
A．vtB.vt2C．2vtD．不能确定
答案B
解析因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝v
t＝0＋vv2t＝2
t.B正确．
例2
一质点做匀变速直线运动，初速度
v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s内的平均速度；(2)质点4 s末的速度；(3)质点2 s末的速度．答案(1)5 m/s
(2)8 m/s
(3)5 m/s
解析
(1)利用平均速度公式：
4 s内的平均速度
v＝xt＝20
4
m/s＝5 m/s
(2)因为v＝v0＋v
2，代入数据解得，4 s末的速度
v4＝8 m/s.
(3)2 s末为这段时间的中间时刻，故v2＝v＝5 m/s.
二、位移差公式Δx＝aT
2
[导学探究]
物体做匀变速直线运动，加速度为
a，从某时刻起T时间内的位移为
着第二个T时间内的位移为x2
2.试证明：Δx＝aT.
答案见解析
解析
证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移xT＋12
1＝v02aT①
在第2个T时间内的位移
x2＝v0·2T＋12
2a(2T)－x1＝v0T＋322aT.②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为Δx＝x2－x1＝v320T＋2aT－v120T－2aT
＝aT2
，即Δx＝aT2
. [知识深化]
位移差公式
2
t，则起飞
x1，紧接
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间2．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
T内的位移之差为一恒定值，
即Δx＝x2－x1＝aT.
2
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．(2)求加速度
Δx
利用Δx＝aT，可求得a＝2.
T
2
2
例3一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过
的位移是60 m，求这个物体的加速度和初速度各是多少？答案解析
2.25 m/s
2
1.5 m/s
2
由公式Δx＝aT得：
Δxx2－x160－2422
＝2.25 m/s，这8 s中间时刻的速度a＝2＝2＝2m/s
TT4x1＋x260＋24
＝m/s＝10.5 m/s v＝
2T2×4而v＝v0＋at，得：v0＝1.5 m/s. 例4
从斜面上某一位置每隔
0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，
1所示的照片，测得
xAB＝15 cm，xBC
在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图＝20 cm.试求：
图1
(1)小球的加速度是多少？(2)拍摄时小球B的速度是多少？(3)拍摄时xCD是多少？答案解析
(1)5 m/s
2
(2)1.75 m/s(3)0.25 m
0.1 s，
小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为
可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．(1)由推论Δx＝aT可知，小球的加速度为ΔxxBC－xAB20×10－15×10
22a＝2＝＝
TT0.1
－2
－2
2
m/s＝5 m/s.
3
2
2
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知xAC20×10＋15×10＝vB＝vAC＝2T2×0.1
－2
－2
B点的速度等于AC段上的平均速度，即
m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内的位移差恒定，所以xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝2×20×10三、匀变速直线运动的规律总结1．两个基本公式：v＝v0＋at12
x＝v0t＋at
2
上两个公式中包括五个物理量，
原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，
解题时要注意公式的矢量性，
由这先根据规
－2
m－15×10 m＝0.25 m.
－2
两个基本公式可以解决所有的匀变速直线运动问题．定好的正方向确定好所有矢量的正负值．2．几个导出公式及特点
(1)v－v0＝2ax此式不涉及时间，若题目中已知量和未知量都不涉及时间，较简单．
(2)x＝vt普遍适用于各种运动，而
22
利用此式往往比
v0＋vt
＝v只适用于匀变速直线运动，两者相结合v＝22
可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度．(3)x2－x1＝aT适用于匀变速直线运动，进一步的推论有等的时间间隔，xm为第m个时间间隔内的位移，例5
一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，
2
xm－xn＝(m－n)aT(其中T为连续相
)．
2
xn为第n个时间间隔内的位移已知途中先后经过相距
27 m的A、B两点所
用时间为2 s，汽车经过B点时的速度为15 m/s.求：
(1)汽车经过A点时的速度大小和加速度大小；(2)汽车从出发点到
A点经过的距离；
(3)汽车经过B点后再经过2 s到达C点，则BC间距离为多少？答案解析vA＋vB
2故由x＝v
vA＋vB
t＝vABt＝t，解得vA＝12 m/s.
2(1)12 m/s
1.5 m/s
2
(2)48 m(3)33 m
A点时速度为
vA，则AB段平均速度为
v
AB＝
(1)设汽车初始运动方向为正方向，过
vB－vA
对AB段：a＝＝1.5 m/s2.
tAB(2)对OA段(v0＝0)：由v－v0＝2ax
4
2
2
得xOA＝
22－vvA0
2a
＝48 m.
AB段的时间，
(3)汽车经过BC段的时间等于经过根据公式x2－x1＝aT
2
2
对于AC段有：xBC－xAB＝aT，
得xBC＝xAB＋aT＝27 m＋1.5×2 m＝33 m.
2
2
1．(基本公式的理解和应用均采用国际单位制单位A．初速度为5 m/s B．加速度为2 m/s
2
)质点做直线运动的位移
)
x与时间t的关系为x＝5t＋2t(各物理量
2
)，则该质点(
C．前2 s内的平均速度是6 m/s
2 m/s
D．任意1 s内的速度增量都是答案解析
A
匀变速直线运动的位移公式
1222
x＝v0t＋at，对照x＝5t＋2t，可得v0＝5 m/s，a＝4 m/s，
218 m，平均速度
18 m
＝9 m/s，C错．根据加速度v＝2 s
a＝
A对，B错．前2秒内的位移为
2
，D错．4 m/s，速度与加速度方向相同，质点做加速运动，即任意1 s内的速度增量都是4 m/s2．(平均速度公式的应用点做匀减速直线运动到A．加速度大小之比为B．位移大小之比为
)一质点从静止开始由
A点先做匀加速直线运动到
B点，然后从
B)
C点时速度刚好为零．已知2∶1 1∶2
2∶1 1∶1
tAB＝2tBC，那么在AB段和BC段(
C．平均速度大小之比为D．平均速度大小之比为答案解析
D
设B点速度为v，tBC＝t
vv
，a2＝2tt
加速度a1＝
故a1∶a2＝1∶2，选项A错误；0＋vv＝v1＝22v2＝
v＋0v＝22
故v1∶v2＝1∶1，选项C错误，D正确．x1＝2v1t，x2＝v2t，故x1∶x2＝2∶1，选项B
5
错误．
3．(位移差公式的应用迹上的四点，测得下列说法正确的是
)(多选)如图2所示物体做匀加速直线运动，
A、B、C、D为其运动轨
0.2 s，则
AB＝2 m, BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为(
)
图2
A．物体的加速度为C．CD＝4 m 答案解析
BC
由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即
Δx＝aT可得：
2
20 m/s
2
B．物体的加速度为D．CD＝5 m
25 m/s
2
a
BC－AB122
＝2＝m/s＝25 m/s，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD
T0.04＝4 m，故C正确，D错误．4．(平均速度和位移差公式的应用
)(多选)一质点做匀加速直线运动，第
(
)
3 s内的位移是2 m，
第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是A．第2 s内的位移是2.5 m B．第3 s末的瞬时速度是C．质点的加速度是D．质点的加速度是答案解析
BD
2.25 m/s
2
0.125 m/s0.5 m/s
2
x4－x32.5－222由Δx＝aT，得a＝＝0.5 m/s，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位2＝2m/s
T1
2
x3＋x4
移x2＝1.5 m，A、C错误，D正确；v3＝＝2.25 m/s，B正确；故选B、D.
2T
课时作业
一、选择题(1～6为单项选择题，7～8为多项选择题) 1．一质点做匀加速直线运动，依次经过间的距离为14 m，已知物体通过为(
)
O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C
O与A的距离
OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则
A．8 m B．6 m C．4 m D．2 m 答案解析
B
根据匀加速直线运动规律，
连续相等的时间间隔
T内物体的位移之差
Δx＝aT，则x3
2
－x2＝x2－x1，所以x1＝2x2－x3＝2×10 m－14 m＝6 m，选项B正确．
6
2．一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为
(
)
x，如果子弹在墙内穿行
时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为xA.v答案解析
2xB.vB
2xv
由v＝和x＝vt得t＝，B选项正确．
2v
2xC.
v
xD.2v
3．一物体从斜面上某点由静止开始做匀加速直线运动，经过平地面上做匀减速直线运动，又经
3 s 后到达斜面底端，并在水
9 s停止，已知物体经过斜面和水平面交接处时速度大小
(
)
不变，则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1 答案解析
C
设物体到达斜面底端时的速度为
vv1＝，
2
v，
在斜面上的平均速度在斜面上的位移
v
x1＝v1t1＝t1
2
vv2＝，
2
在水平地面上的平均速度在水平地面上的位移
v
x2＝v2t2＝t2
2
所以x1∶x2＝t1∶t2＝1∶3.故选C.
4．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，
一段时间之后，司机发现一乘客未上车，
10 s，前进了25 m，在
便立即刹车做匀减速直线运动．已知汽车从启动到停止一共经历了此过程中，汽车的最大速度为A．2.5 m/s C．7.5 m/s 答案解析
B
设汽车的最大速度为
vm，加速时间为
t1，减速时间为
(
)
B．5 m/s D．10 m/s
t2，加速阶段的平均速度v1＝
0＋vmvm
＝22减速阶段的平均速度
vm＋0vm
v2＝＝
22
1vm
x＝v1t1＋v2t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得vm＝5 m/s.
225.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在1所示．在这段时间内
(
)
t＝0到t＝t1的时间内，它们的
v－t图象如图
7
图1
A．汽车甲的平均速度比乙大B．汽车乙的平均速度等于C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大答案解析
乙
v1＋v2
2
A
根据v－t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移
x
v＝得，汽车甲的平均速度
tx乙小于初速度为
v
甲
x甲大于汽车乙的位移
v
乙
x，选项C错误；根据A正确；汽车乙的位移车乙的平均速度小于
大于汽车乙的平均速度，选项
v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移
x，即汽
v1＋v2
，选项B错误；根据2
v－t图象的斜率反映了加速度的大小，因
此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项6．一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过小球通过AB、BC所用的时间均为A．2 m/s,3 m/s,4 m/s C．3 m/s,4 m/s,5 m/s 答案解析
B
BC－AB＝aT，a＝AB＋BCvB＝
2T
＝
2
D错误．
A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，A、B、C三点时的速度分别为
(
)
2 s，则小球经过
B．2 m/s,4 m/s,6 m/s D．3 m/s,5 m/s,7 m/s
422
＝1 m/sm/s
4
6＋102×2
m/s＝4 m/s
由vB＝vA＋aT，得vA＝vB－aT＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，vC＝vB＋aT＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s，B正确．
7．一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度3t两段时间内(
)
—时间图象如图
2所示，那么0～t和t～
8
图2
A．加速度大小之比为B．位移大小之比为
3∶1 1∶2
2∶1 1∶1
C．平均速度大小之比为D．平均速度大小之比为答案解析
BD
两段的加速度大小分别为
vva12
a1＝，a2＝，＝，A错．两段的位移
t2ta21v
v1＝v2＝，C错，D对．
2
1
x1＝vt，x2＝vt，
2
x11
＝，B对．两段的平均速度x22
8．用相同材料做成的
A、B两木块的初速度之比为
(
2∶3，它们以相同的加速度在同一粗糙)
2∶3 2∶3
水平面上沿直线滑行直至停止，则它们滑行的A．时间之比为C．距离之比为答案
BC
1∶1 4∶9
B．时间之比为D．距离之比为
二、非选择题
9.某次实验得到的一段纸带如图间单位，得到图示的
3所示(电源频率为
50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时
4 cm、1的计数点
5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是
10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是________，当打点计时器打标号为
2
时速度v1＝________ m/s，加速度a＝________ m/s.
图3
答案解析
匀加速直线运动
0.5
2
0～1、1～2、2～3、3～4间距：x1＝4 cm，x2＝6 cm，x3＝8 cm，x4＝10 cm，连续相
Δx1＝x2－x1＝2 cm，Δx2＝x3－x2＝2 cm，Δx3＝x4－x3＝2 cm，所以
等时间内的位移之差：
在连续相等时间内的位移之差为常数，故小车做匀加速直线运动．根据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，有Δx2×10
20.5 m/s.由Δx＝aT得a＝2＝
T0.1
2
－2
v1＝
10×10
－2
2×0.1
m/s＝
m/s＝2 m/s.
22
10．为了安全，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止出发做匀加速直线运动，用了10 s时间通过一座长
120 m的桥，过桥后的速度是
14 m/s.请计算：
9
(1)它刚开上桥头时的速度有多大？(2)桥头与出发点的距离有多远？答案解析
(1)10 m/s
(2)125 m
v1
(1)设汽车刚开上桥头时的速度为
v1＋v2
则有x＝t
2
2×1202x
v1＝t－v2＝(10－14) m/s＝10 m/s. (2)汽车的加速度
v2－v114－1022
＝＝0.4 m/sa＝m/st10
v1100x′＝＝m＝125 m.
2a2×0.4
当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，
一位同学提议说：
2
桥头与出发点的距离
11．一些同学乘坐火车外出旅游，
“我们能否用身边的器材测出火车的加速度？”许多同学参与了测量工作，测量过程如下：他们一边看着窗外每隔
100 m的路标，一边用手表记录着时间，
他们观测到从第一根路标运
9 s，请你
动到第二根路标的时间间隔为根据他们的测量情况，求：(1)火车的加速度大小；
5 s，从第一根路标运动到第三根路标的时间间隔为(小数点后均保留两位小数
)
(2)他们到第三根路标时的速度大小．答案解析
(1)1.11 m/s
2
(2)27.22 m/s
(1)设t1＝5 s，t2＝(9－5) s＝4 s，根据
vt
2
x
＝v＝t，知他们在第一、二根路标中间时
刻的速度为：
vt＝20 m/s，
1
2
在第二、三根路标中间时刻的速度
vt＝25 m/s，
2
2
两中间时刻的时间间隔为
t1＋t2
Δt＝＝4.5 s.
2
Δv
所以a＝＝
Δt
vt
2
vtt
1
22
≈1.11 m/s.
v3则
2
(2)设他们到第三根路标时的速度为v3＝
vt＋at＝27.22 m/s.
2
2
22
10
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