复合函数常考题型

复合函数常考题型

复合函数常考的题型有：（1）求解定义域问题（已知 已知

的定义域，求的定义域，求

的定义域；已知

的定义域，求

的定义域；

的定义域）遵循等位等效性原则。

（2）判定函数单调性问题： 已知函数y yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数

f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b ）上是增

函数.遵循同增异减原则。

一、复合函数定义域问题： (1)、已知例1. 设函数解析：函数

的定义域，求

的定义域

的定义域为_____________。，所以

的作用范围为（0，1）

的定义域为（0，1），则函数的定义域为（0，1）即

又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得

，故函数

的定义域为（1，e）

例2. 若函数，则函数的定义域为______________。答案：

（2）、已知思路：设作用范围不变，所以

例3. 已知解析：

的定义域，求的定义域为D，即

为的定义域为的定义域为

的定义域，由此得

，所以f的作用范围为E，又f对x作用，

的定义域。

，则函数

，即

的定义域为_________。，由此得

所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为

例4. 已知，则函数的定义域为______________。

答案：（3）、已知

的定义域，求

的定义域

思路：设作用范围不变，所以

的定义域为D，即

，解得

，由此得，F为

，

的定义域。

的作用范围为E，又f对作用，

例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，

由此得的作用范围为

又f对作用，所以，解得

即的定义域为。

二、复合函数单调性问题已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区

f(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.

间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y例、证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使a因为ux1x2bg(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1g(x1), u2g(x2)即

u1u2,且u1,u2(c,d)因为函数y故函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2))，

f(g(x))在区间(a,b）上是增函数.

复合函数的单调性是由两个函数共同决定 “同向得增，异向得减”或“同增异减”.复合函数yf(g(x))的单调性判断

例1、 求函数ylog1(x22x3)的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域 x2x30x3或x1单调减区间是(3,) 设x1,x2(3,)且x1222x2 则

y1log1(x12x13) y2log1(x22x23)222(x12x13)(x22x23)=(x2x1)(x2x12)∵x2x13 ∴x2x10 x2x120∴(x12x13)>(x22x23) 又底数0∴y2y10 即 y2y1∴y在(3,)上是减函数 同理可证：y在(,1)上是增函数22211 2例2、讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.

［解］由3x22x10得函数的定义域为{x|x1,或x}.则当a1时，若x1，∵u3x22x1为增函数，∴f(x)loga(3x22x1)为增函数.

若x131，∵u3x22x1为减函数.∴f(x)loga(3x22x1)为减函数。3当0a1时，若x1，则f(x)loga(3x22x1)为减函数，

若x1，则f(x)loga(3x22x1)为增函数.3x例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围. 答案：0g(x)f[f(x)],F(x)pg(x)f(x).问是否存在实数p(p0)使得F(x)在区间(,f(2)]上是减函数，

且在区间(f(2),0)上是减函数？并证明你的结论。

［解析］由已知f(m2)0，得am2(a3)ma20，其中mR,a0. ∴0即3a22a90， 解得∵a为负整数，∴a1.∴f(x2)x4x3(x2)21，即f(x)x21.

127127a.33g(x)f[f(x)](x21)21x42x2，

∴F(x)pg(x)f(x)px4(2p1)x21.假设存在实数p(p0)，使得F(x)满足条件，设x1x2，

2x2)[p(x2x2)2p1].∴F(x1)F(x2)(x1212∵f(2)3，当x1,x2(,3)时，F(x)为减函数，

2x20,p(x2x2)2p10.∴F(x1)F(x2)0，∴x12122x218,∴p(x2x2)2p116p1,∵x13,x23,∴x1212∴16p10.①

当x1,x2(3,0)时,F(x) 增函数,∴F(x1)F(x2)0.2x20,∴p(x2x2)2p116p1,∵x1212∴16p10.由①、②可知p②

11，故存在p.1616

针对性课堂训练

一、复合函数定义域问题部分

1、 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。 答案：[1,1]2、 已知函数f(32x)的定义域为[3,3]，求f(x)的定义域。 答案：[3,9]3、 已知函数yf(x2)的定义域为(1,0)，求f(|2x1|)的定义域。

13(,0)(1,)2 答案：22二、复合函数单调性问题：

1、函数y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）

2 答案（2，＋∞） 2、找单调区间. （1）y 答案：(1)在(,ax23x2(a1)； （2）y2x22x3.33]上是增函数，在[,)上是减函数。22 （2）单调增区间是[1,1]，减区间是[1,3]。 3、讨论yloga(ax1),(a0,且a0)的单调性。

答案：a1,时(0,)为增函数，1a0时，(,0)为增函数。