高中数学 必修5 第一章 解三角形 知识整理

第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

1.正弦定理

（1）正弦定理

在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，且等于该三角形外接圆的直径长，即

abc2R。 sinAsinBsinC（2）利用正弦定理解三角形

①解三角形：一般的，我们把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

②利用正弦定理可解下列两类型的三角形：a.已知两角及任一边，求其于两边和一角；b.已知两边及其中一边的对角，求其余两角和一边。（3）三角形的有关公式

三角形面积公式：SABC1abc11其中r为△ABCahaabsinC(abc)r，

224R2内切圆半径，R为外接圆半径。 （4）正弦定理的活用

abc2R有如下变化公式，它在解题中有广泛的应用。 sinAsinBsinCabbcac①，，；sinAsinBsinBsinCsinAsinC正弦定理

②asinB=bsinA，csinB=bsinC，csinA=asinC；③a:b:c=sinA：sinB：sinC；④sinAabc（其中R为三角形的外接圆半径）； ,sinB,sinC2R2R2R⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC。

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（5）三角形解的个数的讨论

已知三角形的两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解决这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论。如图即是表示了在△ABC中，已知a、b和A时，解三角形的各种情况。

①当A为锐角时，

②当A为直角或钝角时，

画图时先画已知角A，使未知边AB水平，顶点C在上边，以C为圆心以边长a为半径作圆，看与射线AB交点的个数，即为三角形解的个数。

说明：A.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：a.已知两角及任一边，

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求其他两边及一角；b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求出其他边和角）。

B.已知两边和其中一边的对角时，三角形的解的情况不确定，见表：

a＞b a=b A≥90° B是锐角，一解 无解 A＜90° B是锐角，一解 B是锐角，一解 bsinA＜a＜b，B是锐角或钝角，两解； a＜b 无解 a=bsinA，B是直角，一解； a＜bsinA，无解 2. 余弦定理

（1）余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即在△ABC中，有：

a=b+c-2bccosA， b=a+c-2accosB， c=a+b-2abcosC。

若令C=90°，则c=a+b，即为勾股定理，所以余弦定理是勾股定理的推广。利用余弦定理，主要解决的问题有：①已知三边求三个角；②已知两边和夹角，求第三边及另外两个角。余弦定理的每一个等式中均含有四个量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，便可求得第四个量。 （2）余弦定理的变形运用

余弦定理有如下变形公式：

b+c-a=2bccosA，a+c-b=2accosB，a+b-c=2abcosC；

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b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosA,cosB;cosC。

2bc2ac2ab

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（3）利用余弦定理解三角形

①已知两边及夹角，如a、b、C（a≥b）。 解法：c=a+b-2abcosC，sinB2

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bsinC（B为锐角），A=180°-（B+C）。 c②已知三边，如a、b、c。

b2c2a2解法：cosA，同样可求出B、C。

2bc③已知两边和其中一边的对角，如a、b、A。

解法：（一般是建立二次方程求解）利用余弦定理建立关于c的一元二次方程c-2bccosA+b-a=0，此方程正实数解的个数即为该问题解的个数。利用解出的c值，进而转换成类型2，可求角B、C。 （4）如何判断三角形的形状

①判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）。

②对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般的，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系。再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论。

③常见结论：设a、b、c是△ABC的角A、B、C的对边： a.若a+b=c，则C=90°； b.若a+b＞c，则C＜90°； c.若a+b＜c，则C＞90°； d.若sin2A=sin2B，则A=B或AB2

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2。

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1.2 应用举例

实际应用问题中有关的名称、术语 1. 仰角、俯角

如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。 2. 方向角、方位角

①指北或指南方向西安与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角。目标方向线方向一般可用“³偏³”多少度来表示，这里第一个“³”是“北”或“南”，第二个“³”是“东”或“西”。如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、西南方向、南偏东20°。

②方位角：从某点开始的指向北方向按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫做方位角。

3. 水平距离、垂直距离、坡面距离

如图，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离。

如图，把坡面的铅直高度h和水平宽度l

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的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即ihltan。６