弱s-置换嵌入子群对p-幂零群的影响

第２８卷第３期　广西师范大学学报：自然科学版　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．３　２０１０年９月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｓｅｐｔ．２０１０　弱　一置换嵌入子群对Ｐ一幂零群的影响　李长稳　，於道。　（１．徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６；２．淮海工学院理学院，江苏连云港２２２００１）　摘要：称群Ｇ的一个子群Ｈ在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入的，如果存在Ｇ的一个次正规子群丁和包含在Ｈ中的Ｇ　的一个ｓ一置换嵌入子群Ⅳ　，使得Ｇ＝ＨＴ且Ｈｎ　７１≤Ｈ　。利用弱　一置换嵌入子群的性质给出了Ｐ一幂零群的　一些新刻画。　关键词：弱ｓ一置换嵌入；户一幂零；Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群　中图分类号：０１５２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—６６００（２０１Ｏ）０３—００２９—０４　群Ｇ的一个子群Ｈ称为在Ｇ中　一置换的，如果　与Ｇ的每个Ｓｙｌｏｗ子群可换。称群Ｇ的子群　在　Ｇ中ｓ一置换嵌入的［１］，如果对于ＩＨ　Ｉ的每个素因子Ｐ，Ｈ的Ｓｙｌｏｗ户一子群也是Ｇ的某个ｓ一置换子群的Ｓｙ—　ｌｏｗ　一子群。显然，　一置换嵌入是　一置换的推广。１９９６年，王燕鸣教授引入了ｆ一正规子群的概念Ｌ２］。群Ｇ的　一个子群Ｈ称为在Ｇ中ｃ一正规的，如果存在Ｇ的一个正规子群Ｋ，使得Ｇ—ＨＫ且ＨｎＫ≤日ｃ，其中Ｈｃ　是包含在日中的Ｇ的最大正规子群。２００７年，Ｓｋｉｂａ给出了弱　一置换子群的概念［３］。称群Ｇ的一个子群　Ｈ在Ｇ中弱ｓ一置换的，如果存在Ｇ的一个次正规子群Ｋ，使得Ｇ一日Ｋ且ＨｎＫ≤Ｈ　，其中Ｈ　是包含在　日中的Ｇ的最大ｓ一置换子群。２００９年，李样明教授又将ｓ一置换嵌入子群，ｃ一正规子群以及弱ｓ一置换子群定　义统一推广为弱ｓ一置换嵌入子群，从而统一了近年来人们在超可解方面的一些重要成果Ｌ４］。本文在文献　［４］的基础上继续作一些工作，得到Ｐ一幂零群的一些新刻画。　１　预备知识　定义１Ｌ４］称群Ｇ的一个子群Ｈ在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入的，如果存在Ｇ的一个次正规子群丁和包含在　日中的Ｇ的一个ｓ一置换嵌入子群Ｈ　，使得Ｇ—Ｈ丁且Ｈｎ丁≤Ｈ　。　引理１［４］设Ｈ≤Ｇ，Ｈ在Ｇ中弱　一置换嵌入，①若Ｈ≤Ｌ≤Ｇ，则Ｈ在Ｌ中弱ｓ一置换嵌入；②若Ⅳｑ　Ｇ且Ⅳ≤Ｈ≤Ｇ，则Ｈ／Ｎ在Ｇ／Ｎ中弱　一置换嵌入；⑧若Ｈ为Ｇ的　一子群，Ⅳ为Ｇ的正规ｌｒｔ＿子群，则　ＨⅣ／Ⅳ在Ｇ／Ⅳ中弱ｓ一置换嵌入。　引理２［５］设Ｇ是一个与Ａ　无关的有限群，Ｐ是ｌＧ　Ｉ的最小素因子，Ｈ是Ｇ的一个正规子群使得Ｇ／　Ｈ是Ｐ一幂零的，如果日的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群尸满足Ｐ。不整除ｌ　Ｐ　ｌ，则Ｇ是Ｐ一幂零群。　引理３［　］设Ｈ在Ｇ中ｓ一置换，Ｐ是Ｈ的一个Ｓｙｌｏｗ　一子群，其中Ｐ是一个素数，如果ＨＧ一１，则Ｐ　在Ｇ中ｓ～置换。　引理４［７］　设尸是Ｇ的一个Ｐ一子群，如果Ｐ在Ｇ中　一置换，则０　（Ｇ）≤Ｎ　（Ｐ）。　引理５设Ｇ为有限群，Ｐ为ｌＧ　Ｉ的素因子，Ｐ为Ｇ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群，如果Ｐ交换且Ｎｃ（Ｐ）为声一幂零　群，则Ｇ是声一幂零群。　证明　因为Ｎｏ（Ｐ）为Ｐ一幂零群，所以ＮＧ（Ｐ）一Ｐ×Ｈ，其中Ｈ是ＮＧ（Ｐ）的正规　一补。又尸是交换群　且［Ｐ，Ｈ］一１，故ＣＧ（Ｐ）一ＮＧ（Ｐ），因此Ｇ是Ｐ一幂零群。　收稿日期：２０１０—０４—２５　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０７７１１８０）；徐州师范大学科研基金资助项目（０９ＸＩ　ＢＯ１）　通讯联系人：於道（１９６８一），男，江苏淮安人，淮海工学院副教授，博士。Ｅ—ｍａｉｌ：ｐｒｏｐｅｒｔｙｌ１１１＠ｙａｈｏｏ．ｔｏｍ．ｃｎ　３０　广西师范大学学报：自然科学版　第２８卷　２主要结果　定理１设Ｇ是一个与Ａ　无关的有限群，Ｐ为ＩＧｌ的最小素因子，Ｈ＜Ｇ使得Ｇ／Ｈ是声一幂零的，如果　Ｈ的Ｓｙｌｏｗ户一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入，则Ｇ是声一幂零群。　证明　假设定理不成立，Ｇ为极小阶反例　①由引理２，ＪＰ｝≥户。，这说明尸的任意２一极大子群　≠１。　②（）户，（Ｇ）一１。如果０　（Ｇ）≠ｌ，由引理１容易证明Ｇ／Ｏｐ，（Ｇ）满足定理的条件。由Ｇ的选择知Ｇ／Ｏ∥　（Ｇ）为户一幂零的，从而Ｇ为　一幂零的，矛盾。　③Ｈ—Ｇ。由引理１，Ｈ的Ｓｙｌｏｗ　一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入。如果Ｈ＜Ｇ，则　Ｈ为Ｐ一幂零的。由②知Ｈ：Ｐ。由Ｇ／Ｐ为　一幂零群，可设Ｋ／Ｐ是Ｇ／Ｐ的正规Ｐ一补。由Ｓｃｈｕｒ—Ｚａｓｓｅｎｈａｕｓ　定理，存在Ｋ的Ｈａｌｌ户　一子群Ｋ　使得Ｋ—ＰＫ　。由引理１，Ｋ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｋ　中弱　一置换嵌入。由Ｇ的选取知Ｋ为Ｐ一幂零的，又Ｋ的正规ｐ一补Ｋ　也为Ｇ的正规　一补，故Ｇ为户一幂零　的，矛盾。　④Ｇ有唯一的极小正规子群Ⅳ使得Ｇ／Ｎ是户一幂零的且　（Ｇ）一１。设Ⅳ为Ｇ的一个极小正规子群，　考虑商群Ｇ／Ｎ，因为Ｐ是Ｇ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群，则尸Ⅳ／Ｎ是Ｇ／Ⅳ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群。如果ｌＰⅣ／ⅣＩ≤　。，由　引理２，Ｇ／Ｎ是Ｐ一幂零的。所以可设ＩＰⅣ／Ⅳｌ≥户。。设　／Ⅳ是ＰⅣ／Ⅳ的任一２一极大子群，则Ｍ。＝Ｍ２ｆｌ　ＰＮ＝（Ｍ２ｎＰ）Ⅳ。设Ｐ２一　ｎＰ。因为Ｐ。一ｌＰⅣ／Ⅳ：Ｍ２／ⅣＩ：ＩＰⅣ：（ＭｚｎＰ）ＮＩ—ｆＰ：Ｍ２ｎＰ　Ｊ—ｌＰ：　Ｐ。Ｉ，所以Ｐ。是Ｐ的２一极大子群。由定理假设，Ｐ。在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入，于是存在Ｇ的一个次正规子群丁　和包含在Ｐ。中的Ｇ的一个　一置换嵌入子群（Ｐ。）　，使得Ｇ＝Ｐ。Ｔ且Ｐ。ｎ　≤（Ｐ２）　。易见Ｇ／Ｎ＝Ｐ　Ｎ／Ｎ・　／Ⅳ且　Ⅳ／Ｎ是Ｇ／Ⅳ的次正规子群。由于Ｐ。ｎⅣ一ＰｎＭ。ｆｌⅣ一ＰｎＮ是Ⅳ的Ｓｙｌｏｗ　一子群，故　（ＪⅣ：ＰｚｎⅣＪ，ＪⅣ：丁ｎⅣ１）＝＝＝１，这样（Ｐ。ｎⅣ）（丁ｎⅣ）：Ⅳ一ⅣｎＧ＝ＮｆｌＰ。Ｔ。由文献Ｅ４］中引理２．７知　Ｐ２Ｎ／Ｎｎ丁Ⅳ／Ⅳ一（Ｐ２Ⅳｎ　７１Ⅳ）／Ｎ＝（Ｐ２ｎ　）Ⅳ／Ｎ≤（Ｐ２）　Ⅳ／Ⅳ。由文献［１］中引理１知（Ｐ２）　Ⅳ／Ⅳ在　Ｇ／Ⅳ中ｓ一置换嵌入。因此　／Ⅳ在Ｇ／Ⅳ中弱ｓ一置换嵌入，从而Ｇ／Ⅳ满足定理的假设。由Ｇ的极小选择　知Ｇ／Ｎ是户一幂零群。由于　一幂零群系是饱和群系，从而Ⅳ的唯一性及　（Ｇ）＝ｌ是显然的。　⑤０ｐ（Ｇ）一１。如果０ｐ（Ｇ）≠１，则由④知Ⅳ≤０ｐ（Ｇ）且存在Ｇ的一个极大子群　，使得Ｇ＝ＮＭ且　ｎⅣ＝１。由于０ｐ（Ｇ）ｎＭ＜Ｇ，故０ｐ（Ｇ）ｎ　一１，从而Ｎ＝Ｏｐ（Ｇ）。显然Ｐ一尸ＦＩＮＭ＝Ｎ（Ｐｎ　）。因为　ＰｎＭ＜Ｐ，所以存在尸的一个极大子群Ｐ　使得Ｐｎ　≤Ｐ　，从而Ｐ＝ＮＰ　。取Ｐ的一个２一极大子群Ｐ。，　使得Ｐ。＜Ｐ　。由定理假设，Ｐ。在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入。于是存在Ｇ的一个次正规子群丁和包含在Ｐ。中的　Ｇ的一个ｓ一置换嵌入子群　。）　，使得Ｇ＝Ｐ　Ｔ且尸。ｎ　≤（Ｐ。）　。既然（Ｐ　）　在Ｇ中　一置换嵌入，则存在Ｇ　的一个　一置换子群Ｋ，使得（Ｐ　）　为　的Ｓｙｌｏｗ户一子群。若Ｋ＿Ｇ≠１，则Ⅳ≤ＫＧ≤Ｋ，从而Ⅳ≤（Ｐ。）　≤Ｐ　≤　Ｐ　，于是Ｐ一ⅣＰ　一Ｐ　，矛盾。若ＫＧ＝＝：１，则由弓１理３，（Ｐ。）　在Ｇ中　一置换，故（Ｐｚ）　ｑＧ。由引理４，（）户　（Ｇ）≤ＮＧ（（Ｐ。）　）。由文献［８］中推论１．１０．１７知Ｐ　ｎ丁≤（Ｐ２）　≤０　（Ｇ）一Ⅳ。因此（Ｐ。）　≤Ｐ２ＦＩＮ≤Ｐ１ｎ　Ｎ。从而（Ｐ２）　≤（（Ｐ２）　）。＝（（Ｐ２）　）　‘。’　一（（Ｐ２）　）　≤（Ｐ１　ｎⅣ）　＝Ｐ１　ｎ　Ｎ≤Ｎ。故（（Ｐ２）　）　一１或者　（（Ｐ。）　）　一Ｐ　ｎＮ＝Ｎ。如果（（Ｐ。）　）。一１，则Ｐ　ｎ　一１，从而丁的Ｓｙｌｏｗ　一子群的阶是Ｐ。。由引理２知　是　一幂零的。设Ｔｐ，是　的正规　一补，则　也是Ｇ的Ｈａｌｌ户　一子群。由于　Ｇ，故Ｔ　ｑＧ，从而Ｇ是　Ｐ一幂零的，矛盾。如果（（尸２）　）。一尸　ＡＮ＝Ｎ，则Ⅳ≤Ｐ　，同样有矛盾。　⑥导出矛盾。如果Ⅳｎ尸≤　（尸），则由Ｊ．Ｔａｔｅ定理（文献［９］，Ⅳ，４．７），Ⅳ是声一幂零的。设Ｎｐ，是Ⅳ的　正规　一补，则Ｎ　ｃｈａｒ　Ｎ＜Ｇ，Ｎｐ，　Ｇ，Ｎｐ，≤０　（Ｇ）一１。因此Ⅳ是Ｐ一群，Ｎ≤（）ｐ（Ｇ）一１，矛盾。因此存在　Ｐ的一个极大子群尸　使得尸＝＝：（ＮｎＰ）Ｐ　。取Ｐ的一个２一极大子群Ｐ。，使得Ｐ　＜Ｐ　。由定理假设，Ｐ。在　Ｇ中弱ｓ一置换嵌入。于是存在Ｇ的一个次正规子群丁和包含在Ｐ　中的Ｇ的一个ｓ一置换嵌入子群（Ｐ。）　，　使得Ｇ＝Ｐ。Ｔ且Ｐ。ｎＴ≤（Ｐ。）…既然（Ｐ。）　在Ｇ中ｓ一置换嵌入，则存在Ｇ的一个ｓ一置换子群Ｋ，使得（尸ｚ）　为Ｋ的Ｓｙｌｏｗ户一子群。若ＫＧ≠１，则Ⅳ≤ＫＧ≤Ｋ。于是（Ｐ２）　ｎＮ为Ⅳ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群。又（Ｐ２）　ｎＮ≤　第３期　李长稳等：弱　一置换嵌入子群对Ｐ一幂零群的影响　Ｐ１　ｎⅣ≤ＰｎⅣ且ＰｎⅣ为Ⅳ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群，故（Ｐ２）　ｎ人ｒ—Ｐ。ｎＮ—ＰｎＮ，从而Ｐ一（ⅣｎＰ）Ｐ１一　（Ｐ　ｎ　Ｎ）Ｐ　＝＝＝Ｐ　，矛盾。若ＫＧ一１，则由引理３，（Ｐ　）　在Ｇ中　一置换，故（Ｐ。）　＜＝＿］Ｇ。由文献［８］中推论　Ｉ．１０．１７知，Ｐ　ｎ丁≤（Ｐ。）　≤Ｏ　（Ｇ）一１。从而Ｔ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群的阶是Ｐ。。由引理２知丁是Ｐ一幂零的。　又丁ｑ　ｑＧ，故Ｇ是　一幂零的，矛盾。证毕。　推论１　（文献［６］定理３．３）设Ｇ是一个与　无关的有限群，Ｐ为ＩＧ　Ｉ的最小素因子，如果Ｇ的Ｓｙｌｏｗ　一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｇ中ｓ一置换嵌入，则Ｇ是Ｐ一幂零群。　推论２（文献［１Ｏ］定理３．２）设Ｇ是一个与Ａ　无关的有限群，Ｐ为ｌＧＩ的最小素因子，如果Ｇ的ｓｙ—　ｌｏｗ　Ｐ一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｇ中ｃ一正规，则Ｇ是Ｐ一幂零群。　定理２设Ｇ为有限群，Ｐ为ｌＧ　ｌ的素因子，Ｈ是Ｇ的正规子群使得Ｇ／Ｈ为Ｐ一幂零群，如果Ｈ的Ｓｙ—　ｌｏｗ　一子群Ｐ的每个２一极大子群在Ｇ中弱ｓ一置换嵌入且Ｎｃ（Ｐ）为　一幂零的，则Ｇ是　一幂零群。　证明　假设定理不成立，Ｇ为极小阶反例。　①０ｐ，（Ｇ）一１。　②若Ｍ＜Ｇ且满足条件Ｐ≤　＜Ｇ，则Ｍ为　一幂零群。　显然Ｎ肘（Ｐ）≤Ｎｃ（Ｐ），所以Ｎ　（Ｐ）为户一幂零群。由引理１知Ｍ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群Ｐ的所有极大子群　在Ｍ中弱ｓ一置换嵌入，　满足定理的条件，由Ｇ的极小性知　为　一幂零群。　③Ｈ—Ｇ。　如果Ｈ＜Ｇ，由②知Ｈ为Ｐ一幂零的。由①知Ｈ—Ｐ，从而ＮＧ（Ｐ）一Ｇ为Ｐ一幂零群，矛盾。　④Ｇ有唯一的极小正规子群Ⅳ使得Ｇ／Ｎ是Ｐ一幂零的且　（Ｇ）一１。类似定理１的证明④。　⑤下面分两种情况导出矛盾。　情形１：　＞２。由于Ｇ不为户一幂零群，由文献［１１］中推论知存在Ｐ的非平凡特征子群Ｈ，使得Ⅳｃ　（Ｈ）不为户一幂零群。又Ｐ≤ＮＧ（Ｈ），若　（Ｈ）＜Ｇ，由②可得Ｎｃ（Ｈ）为声一幂零群，矛盾。所以有ＮＧ（Ｈ）　一Ｇ。从而０　（Ｇ）≠１。再由④知Ｇ／Ｏ　（Ｇ）为Ｐ一幂零群，因此Ｇ为　一可解群。对于任意ｑ∈ｚｒ（Ｇ）且ｇ≠Ｐ，　存在Ｇ的一个Ｓｙｌｏｗ　ｑ－子群Ｑ满足Ｇ　＝ＰＱ成群（３Ｃ献［１２］定理６．３．５）。假若Ｇ　＜Ｇ，则由断言②知Ｇ　为Ｐ一幂零群。由文献［１３］中定理９．３．１知Ｑ≤ｃｃ（ｏｐ（Ｇ））≤０　（Ｇ），产生矛盾，所以Ｇ＝ＰＱ为可解群。设　Ⅳ为Ｇ的包含在０　（Ｇ）中的极小正规子群，由④知存在Ｇ的一个极大子群　，使得Ｇ一Ⅳ　且　ｎⅣ一　１。容易证得Ｎ＝Ｏ　（Ｇ）一　（』＼，）。显然Ｐ—Ｐ　ｎⅣＭ一Ⅳ（Ｐ　ｎ　）。因为Ｐ　ｎＭ＜Ｐ，所以存在Ｐ的一个极　大子群Ｐ１使得尸ｎ　≤Ｐ１，从而Ｐ＝ＮＰ１，Ｐ１一Ｐ１　ｎＰ—Ｐｌ　ｎⅣ（Ｐ　ｎ　）一（Ｐ　７１　）（尸１　ｎⅣ），Ｐ　ｎ　是Ⅳ　的极大子群。如果Ｐｎ　一１，则Ｐ一Ⅳ，ＮＧ（Ｐ）一Ｇ为Ｐ一幂零的，矛盾。以下设Ｐｎ　≠１并取ＰｎＭ极大　子群Ｐ。。令Ｐ　＝：：Ｐ。（Ｐ　ｎⅣ），则Ｐ。是Ｐ　的极大子群，故Ｐ。是Ｐ的２一极大子群。由定理条件，Ｐ。在Ｇ中　弱ｓ一置换嵌入，于是存在Ｇ的一个次正规子群丁和包含在Ｐ。中的Ｇ的一个ｓ一置换嵌入子群（Ｐ。）　，使得　Ｇ—Ｐ　Ｔ且Ｐ。ｎｒ，≤（Ｐ。）　。既然（Ｐ。）　在Ｇ中　一置换嵌入，则存在Ｇ的一个ｓ一置换子群Ｋ，使得（Ｐ　）　为Ｋ　的Ｓｙｌｏｗ　一子群。若ＫＧ≠１，则Ⅳ≤ＫＧ≤Ｋ，从而Ⅳ≤（Ｐ２）　≤Ｐ２≤Ｐ１，于是Ｐ＝＝＝ⅣＰ　＝Ｐ　，矛盾。若ＫＧ一　１，则由引理３，（Ｐ。）　在Ｇ中ｓ一置换，故（尸２）　＜］Ｇ。由引理４，Ｏ　（Ｇ）≤ＮＧ（（尸　）　）。由文献［８］中推论　１．１０．１７知Ｐ２　ｎ　７１≤（Ｐ２）　≤０　（Ｇ）一Ｎ，因此（Ｐ２）　≤Ｐ２　ｎ　Ｎ≤尸　ｎⅣ，从而（Ｐ２）　≤（（尸２）　）。＝＝＝　（（Ｐ２）　）ＯＰ（Ｇ）Ｐ一（（Ｐ２　ｓｅ）　≤（Ｐ　ｒ７Ⅳ）’Ｐ＝＝＝Ｐ１　ｎ　Ｎ≤Ｎ。故（（Ｐ。）　）。一１或者（（Ｐ。）　）　：＝＝Ｐ　ｎ　Ｎ—Ｎ。如果　（（Ｐ２）　）。一Ｐ１　ｎＮ＝Ｎ，则Ｎ≤Ｐ１，矛盾。如果（（Ｐ２）　）　一１，贝０　Ｐ：ｎ丁一１。由于ＪＧ：７＇Ｉ是Ｐ的方幂，　ｒ＜＝＿＝】　Ｇ，故０ｐ（Ｇ）≤Ｔ。因为Ⅳ是Ｇ的唯一极小正规子群，故Ⅳ≤０　（Ｇ）≤Ｔ，从而Ⅳｎ尸。≤　ｎＰ。一１。由于Ⅳ　ｎ　Ｐ。一ＮｎＰ　且ⅣｎＰ　是Ⅳ的极大子群，故ｌＮ　Ｉ—Ｐ，Ａｕｔ（Ⅳ）为Ｐ一１阶循环群。若口＞Ｐ，则ＮＱ为户一幂　零群，从而Ｑ≤ＣＧ（Ⅳ）一Ｎ，矛盾。若ｑ＜Ｐ，由于Ｍ￣Ｇ／Ｎ＝Ｎｏ（Ⅳ）／ＣＧ（Ⅳ）≤Ａｕｔ（Ⅳ），故　是循环群，Ｑ　也是循环群。从而Ｇ是ｇ一幂零群，Ｐ　Ｇ，Ｎｃ（Ｐ）一Ｇ为　一幂零群，矛盾。　情形２：Ｐ一２。如果０　（Ｇ）≠１，则Ⅳ≤０　（Ｇ）。类似情形１的证明可得到１．ⅣＩ—Ｐ。由Ｇ／Ⅳ为　幂零　群，可设Ｌ／Ⅳ是Ｇ／Ｎ的正规Ｐ一补。由Ｓｃｈｕｒ—Ｚａｓｓｅｎｈａｕｓ定理，存在　的Ｈａｌｌ　一子群Ｌ　使得Ｌ—ＮＬ　从而　是户一幂零的。又Ｌ的正规　一补　也为Ｇ的正规Ｐ一补，故Ｇ为　一幂零的，矛盾，因此０　（Ｇ）＝＝１。如　３２　广西师范大学学报：自然科学版　第２８卷　果ＮｎＰ≤　（Ｐ），则由Ｊ．Ｔａｔｅ定理（文献Ｅ９］，ＩＶ，４．７），Ⅳ是ｐ一幂零的。设Ⅳｐ，是Ⅳ的正规ｐ一补，则Ⅳ　ｃｈａｒ　Ｎ＜Ｇ，Ｎ　Ｇ，Ⅳ　≤０　（Ｇ）一１。因此Ⅳ是　一群，Ⅳ≤０ｐ（Ｇ）一１，矛盾。因此存在Ｐ的一个极大子群　Ｐ　使得Ｐ一（ⅣｎＰ）Ｐ　。取Ｐ　的一个极大子群Ｐ。，由定理假设，Ｐ。在Ｇ中弱　一置换嵌入。于是存在Ｇ的　一个次正规子群丁和包含在Ｐ。中的Ｇ的一个ｓ一置换嵌入子群（Ｐ　）　，使得Ｇ＝Ｐ。Ｔ且Ｐ。ｎＴ≤（Ｐ。）　。既　然（Ｐ。）　在Ｇ中ｓ一置换嵌入，则存在Ｇ的一个　一置换子群Ｋ，使得（尸。）　为Ｋ的Ｓｙｌｏｗ　Ｐ一子群。若ＫＧ≠１，　则Ⅳ≤ＫＧ≤Ｋ，于是（Ｐ２）　ｎＮ为Ｎ的Ｓｙｌｏｗ　一子群。又（Ｐ　）　ｎＮ≤Ｐ１ｎＮ≤ＰｎＮ且ＰｎⅣ为Ⅳ的　Ｓｙｌｏｗ声一子群，故（Ｐ２）　ｎＮ＝ＰｌｎＮ＝ＰｎＮ，从而Ｐ一（ⅣｎＰ）Ｐ１一（Ｐ１ｎＮ）Ｐｌ≤Ｐ　，矛盾。若ＫＧ－￣－１，则　由引理３，（尸　）　在Ｇ中ｓ一置换，故（Ｐ。）　Ｇ。由文献［８］中推论１．１Ｏ．１７知，Ｐ。ｎＴ≤（Ｐ２）　≤ｏｐ（Ｇ）一１，　故ｌＰｎ　７１　ｌ≤　。。由于ＩＧ：　Ｉ是Ｐ的方幂，　Ｇ，故ＯＰ（Ｇ）≤Ｔ。由Ⅳ的唯一性知Ｎ￣ＯＰ（Ｇ）≤Ｔ，从而Ⅳ　ｎＰ≤丁ｎＰ，１．ⅣｎＰ　Ｉ≤声。。显然Ｐ≤Ｎｏ（ＰｎＮ）＜Ｇ。由②知Ｎｏ（Ｐ　Ｆ１Ⅳ）是Ｐ一幂零群。当然ＮＮ（ＰｎⅣ）　是声一幂零群。由引理５，Ｎ是户一幂零群，从而Ｇ是　一幂零的，矛盾。证毕。　参考文献：　［１３　ＢＡＬＩ　ＥＳＴＥＲ—ＢＯＬＩＮＣＨＥＳ　Ａ，ＰＥＤＲＡＺＡ—ＡＧＵＩＬＥＲＡ　Ｍ　Ｃ．Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｓｕｐｅｒｓｏｌｕｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕ—　ｐｓ［Ｊ］．Ｊ　Ｐｕｒｅ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ａｌｇｅｂｒａ，１９９８，１２７（２）：１１３—１１８．　［２３　ＷＡＮＧ　Ｙａｎ—ｍｉｎｇ．ｃ—Ｎｏｒｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｌｇｅｂｒａ，１９９６，１８０（３）：９５４—９６５．　［３］　ＳＫＩＢＡ　Ａ　Ｎ．Ｏｎ　ｗｅａｋｌｙ　ｓ，ｐｅｒｍｕｔａｂｌｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｌｇｅｂｒａ，２００７，３１５（１）：１９２—２０９．　［４］　ＬＩ　Ｙａｎｇ—ｍｉｎｇ，ＱＩＡＯ　Ｓｈｏｕ—ｈｏｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｙａｎ—ｍｉｎｇ．Ｏｎ　ｗｅａｋｌｙ　一ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ　［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ａｌｇｅｂｒａ，２００９，３７（３）：１０８６—１０９７．　［５３　ＷＥＩ　Ｈｕａ—ｑｕａｎ，ＷＡＮＧ　Ｙａｎ—ｍｉｎｇ．Ｏｎ　ＣＡＳ—ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｉｓｒａｅｌ　Ｊ　Ｍａｔｈ，２００７，１５９：１７５—１８８．　［６］　ＬＩ　Ｙａｎｇ—ｍｉｎｇ。ＷＡＮＧ　Ｙａｎ—ｍｉｎｇ．ＷＥＩ　Ｈｕａ—ｑｕａｎ．Ｏｎ　Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｅｙ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ　ｗｉｔｈ　ｓｏｍｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ￣－ｑｕａｓｉｎｏｒ—　ｍａｌｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ［Ｊ］．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈ　Ｈｕｎｇａｒ，２００５，１０８（４）：２８３—２９８．　［７］　ＬＩ　Ｙａｎｇ—ｍｉｎｇ．ＷＡＮＧ　Ｙａｎ－ｍｉｎｇ．ＷＥＩ　Ｈｕａ—ｑｕａｒｔ．Ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　７ｃ—ｑｕａｓｉｎｏｒｍａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ａ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒ—　ｏｕｐ［Ｊ］．Ａｒｃｈ　Ｍａｔｈ，２００３，８１：２４５—２５２．　［８］　ＧＵＯ　Ｗｅｎ—ｂｉｎ．Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｃｌａｓｓｅｓ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｐｒｅｓｓ—Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ，２０００．　［９］　ＨＵＰＰＥＲＴ　Ｂ．Ｅｎｄｉｃｈｅ　ｇｒｕｐｐｅｎ　Ｉ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９６７．　［１０３　ＧＵＯ　Ｘｉｕ—ｙｕｎ，ＳＨＵＭ　Ｋ　Ｐ．Ｏｎ　ｃ—ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｐｕｂｌ　Ｍａｔｈ　Ｄｅｂｒｅｃｅｎ，２００１，５８（１）：８５—９２．　［１１］　ＴＨＯＭＰＳＯＮ　Ｊ　Ｇ．Ｎｏｒｍａｌ　Ｐ—ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｌｇｅｂｒａ，１９６４，１（１）：４３—４６．　［１２］　ＧＯＲＥＮＳＴＥＩＮ　Ｄ．Ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｃｈｅｌｓｅａ，１９６８．　［１３］　ＲＯＢＩＮＳＯＮ　Ｄ　Ｊ　Ｓ．Ａ　ｃｏｕｒｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９３．　Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｗｅａｋｌｙ　—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　Ｅｍｂｅｄｄｅｄ　Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｎ　Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ　Ｇｒｏｕｐｓ　ＬＩ　Ｃｈａｎｇ—Ｗｅｌｌ　，ＹＵ　Ｑｉｕ。　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ　Ｊｉａｎｇｓｕ　２２１１１６，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕａｉｈａｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕａｎｇａｎｇ　Ｊｉａｎｇｓｕ　２２２００１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　ａ　ｇｒｏｕｐ　Ｇ　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｗｅａｋｌｙ　ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ｉｎ　Ｇ　ｉｆ　ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ａ　ｓｕｂ—　ｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｔ　ｏｆ　Ｇ　ａｎｄ　ａｎ　ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　Ｈ　ｏｆ　Ｇ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　Ｈ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　Ｇ—　Ｈ丁ａｎｄ　Ｈ　ｎ　Ｔ≤Ｈ　．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｗｅａｋｌｙ　ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ｇｒｏｕｐｓ，ｓｏｍｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｙ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒｏｕｐｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｗｅａｋｌｙ　ｓ—ｐｅｒｍｕｔａｂｌｙ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ；Ｐ—ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ；Ｓｙｌｏｗ　Ｐ—ｓｕｂｇｒｏｕｐ　（责任编辑黄　勇）