集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元和极大子群

２０１８年５月　西南民族大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｍｉｎｚｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍ．ｄｖ．２０１８　Ｖ０１．４４　Ｎｏ．３　第４４卷第３期　ｄｏｉ．１０．１ｌ９２０／ｘｎｍｄｚｋ．２０１８．Ｏ３．０１７　集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半群　Ｐｒ（Ａ×Ａ）的幂等元和极大子群　林屏峰　（西南民族大学预科教育学院，四川　成都６１００４１）　摘　要：设Ａ是任意的非空集合，ｒ是集合Ａ上的简单半格，Ｐ　（Ａ×Ａ）是集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半　群，也是集合Ａ上半格ｒ确定的二元关系半群中的一类特殊的半群．首先通过简单半格的性质和利用集合Ａ上半格ｒ　确定的二元关系半群的Ｇｒｅｅｎ一关系已有的结论，刻画了半群Ｐ　（Ａ×Ａ）的幂等元，从而得到半群Ｐｒ（Ａ×Ａ）的所有幂　等元构成一个子半群．根据幂等元的结构，证明了半群　（Ａ×Ａ）的极大子群是由一个幂等元构成的单位元群．　关键词：二元关系半群；集合上的简单半格；幂等元；链；极大子群　中图分类号：０１５２．７　文献标志码：Ａ　文章编号：２０９５４２７１（２０１８）０３￣３２６－０５　Ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ　ａｎｄ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　Ｐｒ（Ａ　ｘ　Ａ）ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ　Ｆ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　Ａ　ＬＩＮ　Ｐｉｎｇ—ｆｅｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｐｒｅｐａｒａｔｏｒｙ　Ｃｏｕｒｓｅｓ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｍｉｎｚｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００４１，Ｐ．Ｒ．Ｃ．）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ　Ａ　ｂｅ　ａｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｎｏｎｅｍｐｔｙ　ｓｅｔ，ａｎｄ　Ｆ　ｂｅ　ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｅｎｆｉｌａｔｔｉｅｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　Ａ，Ｐｒ（Ａ×Ａ）ｉｓ　ａ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｂｉｎａｙ　ｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ　Ｆｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　Ａ，ａｎｄ　ａｌｓｏ　ａ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｓｅｍｉｇ—　ｒｏｕｐｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　Ｐｒ（Ａ　ｘ　Ａ），ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｅｎ’Ｓ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｍｐｌｅ　ｓｅｍｉｌａｔｔｉｃｅ．ｔｈｅ　ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ　ａｒｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ．ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｅｔ　ｏｆ　ａⅡｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｓ　ｆｏｒｍｓ　ａ　ｓｕｂ—　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｉｔ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　Ｐｒ（Ａ　ｘ　Ａ）ｉｓ　ａ　ｕｎｉｔ　ｇｒｏｕｐ　ｃｏｍｐｏｓｅｄ　ｏｆ　ａｎ　ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｎｆｉｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ；ｓｉｍｐｌｅ　ｓｍｉｌａｔｔｉｃｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｔ；ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ；ｃｈａｉｎ；ｍａｘｉｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ　上世纪九十年代末，Ｒａｌｐｈａ　Ｎ．Ｍｃｋｅｎｚｉｅ和Ｂｏｒｉｓ　Ｊ．Ｋｏｎｉｅｃｚｎｙ　对集合上的二元关系半群的正则元也　进行了研究．二十世纪七、八十年代，Ｋａｒｅｎ　Ｃｈａｓｅ在　文献［６－８］中构造了夹心二元关系半群，并研究了这　Ｍ．Ｓｃｈｅｉｎ在文献［１］中指出，任意半群都可以同构于　某个二元关系半群的子半群，这说明对二元关系半群　的研究具有非常重要的意义．对二元关系半群的研究　类半群的基本性质和极大子群．本世纪初，作者在文　献［９—１０］通过推广Ｋａｒｅｎ　Ｃｈａｓｅ的夹心二元关系半　群，获得从一个集合到另一个集合的二元关系半群，　并且对其中一类进行了深入研究．虽已取得许多成　果，但是对二元关系半群的研究却还未完成．近年来，　始于二十世纪中叶，Ｒ．Ｊ．Ｐｌｅｍｍｏｎｓ＿２剖等人对集合上　的二元关系半群的进行了研究，获得了一些基本性质　和一些子半群结构；Ｓ．Ｓｃｈｗａｒｚ　对集合上的二元关　系半群的幂等元进行了研究．至本世纪初，　收稿日期：２０１７—１１—１５　作者简介：林屏峰（１９８２一），男，讲师，研究方向：半群代数．Ｅ—ｍａｉｌ：Ｐ．ｆ’ｌｉｎ＠１２６．ＣＯｒｎ　基金项目：中央高校基本科研业务费专项项目（２０１５ＮＺＹＱＮ３８）　第３期　林屏峰：集合Ａ上的简单半格Ｆ确定的二元关系半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的幂等元和极大子群　３２７　作者在文献［１０．１４］中利用半格的性质构造了集合上　的半格确定的二元关系半群，并且对这类半群的　Ｇｒｅｅｎ一关系、一些特殊元（幂等元、不可分解元）进行　了深入的研究．作者将在文献［１０—１４］的基础之上，对　集合上的一类特殊半格确定的二元关系半群进行了　系统的研究，获得了幂等元的结构和极大子群．　下面给出需要使用的重要符号和概念，主要来源　于文献［１２］．　设Ａ是一个非空集合，令Ｐ（Ａ）＝｛Ｕ：Ｕ　Ａ｝，　Ｐ　（Ａ）＝｛Ｕ：　ｃ　Ｕ　Ａ｝．集合Ｐ（Ａ）关于集合的　并运算构成一个半格．若ｒ是Ｐ（Ａ）的一个子半格，　则称ｒ是集合Ａ上的一个半格．设ｒ是集合Ａ上的　一个半格，令ｓｕｐ（ｒ）＝　Ｖ，则ｓｕｐ（Ｆ）是ｒ的最大　Ｅ　Ｊ　元．　设ｒａｉｎ（Ｆ）是集合Ａ上的半格ｒ的所有极小元　构成的集合．则显然有下列性质：　引理１设ｒ是集合Ａ上的半格，Ｕ∈Ｆ，Ｕ∈　ａｒｉｎ（Ｆ）．若　，则Ｕ＝Ｕ．　设Ａ是一个非空集合，令Ｐ（Ａ　ＸＡ）＝｛　＝Ｕ　Ｘ　ｆ（厂，　Ａｆ，即尸（Ａ　Ｘ　Ａ）是Ａ上的所有二元关系　构成的集合．设Ｐ∈Ｐ（Ａ×Ａ），Ｆ是集合Ａ上的一个　半格．定义如下集合，　（ｐ，ｒ）：｛ｐＫ：Ｋ∈ｒ），则显　然　（ｐ，ｒ）也是集合Ａ上的一个半格．　设．厂：Ａ—ｒ是一集值变换．定义　，＝ｕ　Ｘ　＾Ｅ　｛Ａ｝，贝０　∈Ｐ（Ａ　Ｘ　Ａ）．令Ｐｒ（Ａ　Ｘ　Ａ）＝｛　，　是Ａ　到ｒ的集值变换｝．在文献［１１］中证明了Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）　在二元关系的乘积运算下构成半群，称为集合Ａ上的　半格ｒ确定的二元关系半群．　定义１　若集合Ａ上的半格ｒ满足下列两个条　件：（１）对任意ｃ，，Ｖ∈Ｆ，且　≠　，有Ｕ　ｕ　Ｖ＝　ｓｕｐ（Ｆ）；（２）对任意Ｕ，Ｖ∈Ｆ，有Ｕ　ｎ　Ｖ≠中．则称　ｒ是集合Ａ上的简单半格．　显然集合Ａ上的简单半格ｒ具有如下性质：　譬Ｆ；对任意　，Ｖ∈Ｆ一｛ｓｕｐ（Ｆ）｝，且Ｕ≠Ｖ，有　一　≠中；ｒａｉｎ（Ｆ）＝Ｆ一｛ｓｕｐ（Ｆ）｝，并且ｒａｉｎ（Ｆ）是　ｒ的生成集．　文中涉及的半格理论可参看文献［１５］．　１　集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元　关系半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的幂等元　集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半群　Ｐｒ（Ａ　Ｘ　Ａ）的幂等元具有下列特征．　定理１　设ｒ是集合Ａ上的简单半格，ｓ∈　Ｐ　（Ａ×Ａ）．则　是幂等元当且仅当　（ｉ）　＝ｓｕｐ（ｒ）ｘ　Ａ；或　（ｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　＝Ｕ×Ａ；或　（ｉｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），　≠Ａ　ｃ　Ａ，并且　Ａ，ｓｕｐ（ｒ）一Ａ　≠中，使得　ｓ＝（Ｕ　Ｘ　Ａ）ＬＪ（ｓｕｐ（ｒ）×（Ａ—Ａ））．　先证明如下性质：　引理２　设　，　∈Ｐｒ（Ａ×Ａ）．若存在　∈　Ｐｒ（Ａ　Ｘ　Ａ），使得ＪＢ。　＝　，贝０　（　，Ｐ　（Ａ））　（　，ｒ），反之亦然．　证明根据文献［１２］中引理２易得．　由引理２容易获得如下性质：　推论１设中隹Ｆ，　是半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的幂等　元，则　（　，Ｐ　（Ａ））＝　（　，ｒ）．　引理３　设Ｉ１是集合Ａ上的简单半格，　∈　Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）．若Ｆ　＝　（　，Ｆ），且　是幂等元，则半　格ｒ　是一条长度不超过２的链．　证明设　ｌ，Ｕ２∈Ｆ　ｎ　ｒａｉｎ（Ｆ），则Ｕ１，Ｕ２　ｃ　ｓｕｐ（Ｆ）．根据简单半格ｒ的定义知，存在Ａ∈Ｕ　ｎ　．令Ｆ　＝｛Ｕ　∈Ｆ　ｌ　Ａ∈Ｕ　｝，则显然　，　∈ｒ１．　令　（ｒ　，Ｆ　）＝｛Ｕ∈Ｆ　Ｉ　Ｖ　Ｕ　Ｅ　Ｆ　，Ｕ　Ｕ　｝，并且　（ｒ　，Ｆ　）≠中，事实上　（ｒ　，Ｆ　）是　在半格ｒ　中　的下界构成的集合．定义ｉｎｆ（ｒ　，ｒ　）＝　Ｕ，．Ｕ，即　Ｕ∈Ｌ（Ｉ’，Ｆ＾Ｊ　ｉｎｆ（ｒ　，ｒ　）是ｒ　在半格ｒ　中的最大下界．于是　ｉｎｆ（Ｆ　，Ｆ　）　Ｕ　，ｉｎｆ（Ｆ　，Ｆ　）　．根据引理１知，　ｉｎｆ（ｒ　，ｒ　）＝Ｕ１，ｉｎｆ（Ｆ　，Ｆ　）：Ｕ２，即Ｕ　＝Ｕ２．进　而ｌ　ｒ　ｎ　ｍｉｎ（Ｆ）ｌ　１．故ｒ　只能是下面三种情形之　—：　（ｉ）Ｆ　：｛ｓｕｐ（Ｆ）｝；　（ｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得Ｆ　＝｛Ｕ｝；　（ｉｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得Ｆ　＝｛Ｕ，ｓｕｐ（Ｆ）｝．　即ｒ　是一条长度不超过２的链．　根据推论１和引理３，显然有如下性质．　３２８　西南民族大学学报（自然科学版）　第４４卷　推论２　设ｒ是集合Ａ上的简单半格，占∈　Ｐ　（Ａ×Ａ）．若　是幂等元，则　（Ｏｔ，Ｐ　（Ａ））只能是　如下三种情形之一：　（ｉ）　（　，Ｐ　（Ａ））＝｛ｓｕｐ（Ｆ）｝；　（ｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得ＩＶ（　，Ｐ　（Ａ））＝　｛　｝；　（ｉｉｉ）存在Ｕ∈ｍｉｎ（ｒ），使得ＩＶ（　，Ｐ　（Ａ））＝　｛Ｕ，ｓｕｐ（Ｆ）｝．　定理ｌ的证明设ｒ是集合Ａ上的简单半格，若　∈Ｐ　（Ａ×Ａ）是幂等元，则根据推论２知，　（Ｏ／，　Ｐ　（Ａ））只能是如下三种情形之一：　（ｉ）ＩＶ（　，Ｐ　（Ａ））＝｛ｓｕｐ（ｒ）｝；　（ｉｉ）存在Ｕ芒ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（ｓ，Ｐ　（Ａ））　｛Ｕ｝；　（ｉｉｉ）存在Ｕ∈ｍｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｐ　（Ａ））　｛Ｕ，ｓｕｐ（Ｆ）｝．　下面分成三种情形讨论：　（ｉ）若　（　，Ｐ　（Ａ））＝｛ｓｕｐ（Ｆ）｝，则　ｓｕｐ（ｒ）Ｘ　Ａ．　（ｉｉ）若存在Ｕ∈ｍｉｎ（Ｆ），使得　（ｓ，Ｐ　（Ａ））＝　｛　｝，则　＝Ｕ　Ｘ　Ａ．　（ｉｉｉ）若存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｐ　（Ａ））　＝｛Ｕ，ｓｕｐ（ｒ）｝．令　Ａ＝｛Ａ∈Ａ　ｌ　Ａ＝Ｕ｝，Ａ　＝｛Ａ∈Ａ　ｌ　ｓＡ＝　ｓｕｐ（ｒ）｝．　则Ａ　，Ａ　≠中，Ａ　＝Ａ—Ａ　，并且　＝（Ｕ　Ｘ　Ａ）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ’））．　由于　。　＝占，因此　（Ｕ×Ａ）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ一人　））＝占：　。占　＝［（Ｕ×Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））］。［（Ｕ×　Ａ）Ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））］　＝［（Ｕ×Ａ　）。（Ｕ×Ａ　）］ｕ［（Ｕ　Ｘ　Ａ　）。（ｓｕｐ（Ｆ）　ｘ（Ａ—Ａ　））］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））。（Ｕ×Ａ　）］ｕ　［（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］．　则必有　（Ｕ×Ａ　）。（Ｕ×Ａ　）＝Ｕ×Ａ　，　［（Ｕ×Ａ　）。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）　×（Ａ—Ａ　））。（Ｕ×Ａ　）］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ‘））。（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—　Ａ））］＝ｓｕｐ（ｒ）×（Ａ—Ａ）．　进而　ｎ　Ａ≠　，（Ａ—Ａ）ｎ　Ｕ＝　，（Ａ—　Ａ）ｎ　ｓｕｐ（ｒ）≠　，即　ｃ，　Ａ，ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ≠　．　综上所述，存在Ｕ∈ｍｉｎ（Ｆ），　≠Ａ　ｃ　Ａ，并　且　Ａ，ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ　≠　，使得　ｓ＝（Ｕ　Ｘ　Ａ）ｕ（ｓｕｐ（ｒ）×（Ａ—Ａ））．　反之，（ｉ）若　＝ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ，则显然有　：Ｂ　（ｉｉ）若存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　＝Ｕ×Ａ，则显　然有　。　＝　．　（ｉｉｉ）若存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），　≠Ａ　ｃ　Ａ，并且Ｕ　Ａ　，ｓｕｐ（ｒ）一Ａ　≠　，使得　＝（Ｕ×Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ））．　则有　ｎ　Ａ　≠　，（Ａ—Ａ）ｎ　Ｕ＝　，（Ａ—　Ａ）ｎ　ｓｕｐ（Ｆ）≠　．从而　（Ｕ　Ｘ　Ａ）。（Ｕ×Ａ）＝Ｕ×Ａ　，　［（Ｕ×Ａ　）。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）　×（Ａ—Ａ　））。（Ｕ×Ａ　）］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））。（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—　Ａ））］＝ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　）．　即　。　＝［（Ｕ×Ａ）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—　Ａ））］ｏ　Ｅ（Ｕ　Ｘ　Ａ‘）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］　＝［（Ｕ　Ｘ　Ａ　）。（Ｕ×Ａ）］ｕ［（Ｕ×Ａ　）。（ｓｕｐ（ｒ）　×（Ａ—Ａ　））］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））。（Ｕ　Ｘ　Ａ　）］ｕ　［（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］　＝（Ｕ×Ａ）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（人一Ａ　））＝　．　因此　。　＝ｓ．　文献［１３］研究了集合Ａ上的简单半格ｒ确定的　二元关系半群Ｐ　（Ａ×Ａ）上的幂等元具有的基本性　质，进而利用传递二元关系构造了一类幂等元，但并　未刻画幂等元的的基本结构．而定理１将集合上的一　般半格这一条件特殊化，变成简单半格，就完全刻画　了集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半群　Ｐ　（Ａ×Ａ）的幂等元的基本结构．并且集合Ａ上的简　单半格ｒ确定的二元关系半群Ｐ　（Ａ×Ａ）的所有幂　等元构成一个子半群，见如下定理．　定理２设ｒ是集合Ａ上的简单半格，Ｅ　（Ａ）　是半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的所有幂等元构成的集合，则　第３期　林屏峰：集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的幂等元和极大子群　３２９　Ｅ　（Ａ）是Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的子半群．　证明　设　，Ｕ２∈ｒａｉｎ（Ｆ）．令　１＝（Ｕ１　Ｘ　Ａ１）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ１）），　２＝　（Ｕｚ　Ｘ　Ａ：）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　）），　且　１，　２∈Ｅｒ（人），其中Ａ　，Ａ２　Ａ．将对Ａ１，　Ａ：作下列分类讨：　（ｉ）Ａ１＝Ａ２＝　，则　１＝　２：ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ，因　此　１。　２　２．　（ｉｉ）Ａ１＝　，Ａ２：Ａ，则　１＝ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ，　２　－ｉ＂　Ｘ　Ａ，因此　１。　２＝ｓｕｐ（Ｆ）×Ａ＝　１．　（ｉｉｉ）Ａ１＝Ａ，Ａ２：　，则　１＝Ｕ１　Ｘ　Ａ，　２＝　ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ，因此　１。　２＝Ｕ１　Ｘ　Ａ＝占１．　（ｉｖ）Ａ１＝Ａ２＝Ａ，则ｓ１＝Ｕ１　Ｘ　Ａ，　２＝Ｕ２　Ｘ　Ａ，因此　ｌ。　２＝Ｕ１　Ｘ　Ａ＝ｓ１．　（ｖ）　≠Ａ　ｃ　Ａ，中≠Ａ：ｃ　Ａ，根据定理１知，　１　Ａ１，　Ａ２，ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ１≠中，ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ２　≠　．对此下面分成两种情形讨论．　情形１设Ｕ　＝　，则有　ｓ１。　２＝［（Ｕ１　Ｘ　Ａ１）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—　Ａ　））］ｏ［（Ｕ１　Ｘ　Ａ２）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２））］　＝［（Ｕ１　Ｘ　Ａ１）。（Ｕ１　Ｘ　Ａ２）］ｕ［（Ｕ１　Ｘ　Ａ　）。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ：））］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））。（Ｕ１　Ｘ　Ａ　）］ｕ　［（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ。））。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２））］　＝（Ｕ１　Ｘ　Ａ：）ｕ中ｕ　ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２））　＝（Ｕ１　Ｘ　Ａ２）Ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２））＝　２．　情形２　设ｕ　≠　．由于　。ｎ　≠中，则有　ｎ　Ａ。≠　，ｓｕｐ（Ｆ）ｎ　Ａ　≠中．假设　ｎ（Ａ—Ａ。）　＝中，则　Ａ　，从而ｓｕｐ（Ｆ）＝Ｕ　ｕ　Ｕ２　Ａ１，即　ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ　＝中，这与ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ。≠　矛盾．因此　ｎ（Ａ—Ａ。）≠中．又假设ｓｕｐ（Ｆ）ｎ（Ａ—Ａ－）＝　中，则有ｓｕｐ（Ｆ）　Ａ　，进而ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ　≠　，这与　ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ。≠中矛盾．因此ｓｕｐ（Ｆ）ｎ（Ａ—Ａ－）≠　．于是有　ｎ　Ａｌ≠　，ｓｕｐ（Ｆ）ｎ　Ａ１≠中，Ｕ２　ｎ（Ａ—　Ａ　）≠中，ｓｕｐ（Ｆ）ｎ（Ａ—Ａ　）≠　．　因为Ｕ１　Ｘ　Ａ２　ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ２，并且Ｕ１　Ｘ（Ａ—　Ａ２）　ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２），因此　ｓ１。　２＝［（Ｕｌ　Ｘ　Ａ１）Ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—　Ａ　））］ｏ［（Ｕ２　Ｘ　Ａ２）Ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ一人２））］　＝［（Ｕ　Ｘ　Ａ１）。（Ｕ２　Ｘ　Ａ２）］ｕ［（Ｕ１　Ｘ　Ａ　）。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））］　ｕ［（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））。（Ｕ２　Ｘ　Ａ　）］ｕ　［（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ　））。（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ：））］　＝（Ｕ１　Ｘ　Ａ２）ｕ（Ｕ１　Ｘ（Ａ—Ａ２））ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ（Ａ—Ａ２））　＝（ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ：）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ：））＝　ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ．　综上所述，　１。　２∈Ｅｒ（Ａ）．　２　集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元　关系半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的极大子群　根据集合Ａ上的简单半格ｒ确定的二元关系半　群Ｐ　（Ａ×Ａ）的幂等元的结构，可以获得半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的极大子群．下面讨论过程中，Ｅ　（Ａ）始终是　半群Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的所有幂等元构成的集合．　定理３　设ｒ是集合Ａ上的简单半格．则半群　Ｐ　（Ａ　Ｘ　Ａ）的极大子群是由１个幂等元构成的单位　元群．　证明设　∈Ｅ　（Ａ），Ｇ　是半群Ｐｒ（Ａ　Ｘ　Ａ）的　以　作为单位元的极大子群．若　∈Ｇ　，则　。　＝Ｏ／，　并且存在　∈Ｇ　，使得Ｏ／。　＝　。　＝　．根据引理　２知，　（　，Ｐ　（Ａ））　（　，Ｆ），　（　，Ｐ　（Ａ））　（　，Ｆ）．由于　譬Ｆ，则显然有ｒ　Ｐ　（Ａ）．因此　（　，Ｆ）　（　，Ｐ　（Ａ））．又根据推论１知，　（　，　ｒ）　（　，Ｐ　（Ａ））．因此　（　，ｒ）　（　，Ｐ　（Ａ））　（　，Ｆ）＝　（　，　Ｐ　（Ａ））　（　，Ｆ），　即　（　，Ｆ）＝　（　，Ｐ　（Ａ））＝　（　，Ｐ　（Ａ））　＝Ｗ（　，Ｆ）．又根据引理３知，　（ｓ，Ｆ）只能是下面　三种情形之一：　（ｉ）　（　，Ｆ）＝｛ｓｕｐ（Ｆ）｝；　（ｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｆ）＝｛Ｕ｝；　（ｉｉｉ）存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｆ）＝｛Ｕ，　ｓｕｐ（Ｆ）｝．　若１Ｖ（　，Ｆ）＝｛ｓｕｐ（Ｆ）｝，则　（　，Ｐ　（Ａ））＝　｛ｓｕｐ（Ｆ）｝，于是　＝ｓｕｐ（Ｆ）Ｘ　Ａ，即Ｏ／＝ｓ；若存在　Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｆ）＝｛　｝，则　（　，　Ｐ　（Ａ））：｛　｝，于是Ｏ／＝Ｕ　Ｘ　Ａ，即　＝　．　若存在Ｕ∈ｒａｉｎ（Ｆ），使得　（　，Ｆ）＝｛　，　３３０　西南民族大学学报（自然科学版）　第４４卷　ｓｕｐ（Ｆ）｝，则　＝（Ｕ×Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ）），　其中Ｕ　Ｅ　ｒａｉｎ（Ｆ），　≠Ａ　ｃ　Ａ，并且Ｕ　Ａ，　ｓｕｐ（Ｆ）一Ａ　≠　，并且Ｗ（Ｏ／，Ｐ　（Ａ））＝｛Ｕ，　ｓｕｐ（Ｆ）｝，进而Ｏｔ可以表示为　Ｏｔ＝（Ｕ×Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　）），　其中　≠　ｃ　Ａ．由于Ｏ／　。Ｏｔ＝　，所以有　。　＝（　Ｕ×Ａ　）ｕ（　ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ　））＝　（Ｕ×Ａ　）ｕ（ｓｕｐ（Ｆ）×（Ａ—Ａ））．　进而必有Ａ　＝Ａ　．故　＝　．　综上所述，对任意　∈Ｇ　，都有Ｏ／＝　，因此Ｇ　＝｛８　ｉ．　参考文献　［１］ＭＣＫＥＮＺＩＥ　Ｒ　Ｎ，ＳＣＨＥ１Ｎ　Ｂ　Ｍ．Ｅｖｅｒｙ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ　ｉｓ　ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ　ｔｏ　ａ　ｔｒａｎｓｉｔｉｖｅ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｍｅｒｉ　ｃａｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９９７，３４９：２７１－２８５．　［２］ＰＬＥＭＭＯＮＳ　Ｒ　Ｊ，ＷＥＳＴ　Ｍ　Ｔ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　ｏｆｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　Ｐａｃｉｆｉｃ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９７０，３５：７４３－７５３．　［３］ＰＬＥＭＭＯＮＳ　Ｒ　Ｊ，ＳＣＨＥＩＮ　Ｂ　Ｍ．Ｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇ－　ｒｏｕｐ　Ｆｏｒｕｍ，１９７０，１：２６７－２７１．　［４］ＳＣＨＷＡＲＺ　Ｓ．Ｏｎｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ａｆｉｎｉｔｅ　ｓｅｔ［Ｊ］．Ｃｚｅｃｈ－　ｏｓｌｏｖａｋ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，１９７０，２０：６９６－７０２．　［５］ＫＯＮＩＥＣＺＮＹ　Ｊ．Ｔｈｅ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｒｅｇｕｌａｒ　Ｂｏｏｌｅａｎ　ｍａｔｉｒｃｅｓ　『Ｊ］．Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ａｓｉａｎ　Ｂｕｌｌｅｔｉｎ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００２，２５：６２７－６４１．　［６］ＣＨＡＳＥ　Ｋ．Ｎｅｗ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ　Ｆｏｒｕｍ，　１９７９，１８：７９—８２．　【７］ＣＨＡＳＥ　Ｋ．Ｓａｎｄｗｉｓｈ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｍａｔｈ—　ｅｍａｔｉｃａｌ，１９７９，２８：２３１－２３６．　［８］ＣＨＡＳＥ　Ｋ．Ｍａｘｉｍａｌ　ｇｒｏｕｐｓ　ｉｎ　ｓａｎｄｗｉｓｈ　ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ　ｏｆ　ｂｉｎａｒｙ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　［Ｊ］．Ｐａｃｉｆｉｃ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９８２，１００：４３－５９．　［９］林屏峰．集合，到集合Ａ上的二元关系半群Ｐ　（，×Ａ）的正则性　［Ｊ］．西南民族大学学报（自然科学版），２００９，３５（５）：９５１－９４６．　［１Ｏ］林屏峰．集合，到集合Ａ上的二元关系半群Ｐ。（，×Ａ）的生成集　和Ｇｒｅｅｎ一关系［Ｊ］．西南民族大学学报（自然科学版），２０１０，３６　（１）：４４４９．　［１１］林屏峰．集合Ａ上的半格ｒ确定的二元关系半群Ｐｒ（Ａ×Ａ）的　基本性质［Ｊ］．西南民族大学学报（自然科学版），２０１２，３８（４）：　５２９－５３２．　［１２］林屏峰．集合Ａ上的半格ｒ确定的二元关系半群Ｐｒ（Ａ×Ａ）的　Ｇｒｅｅｎ，关系［Ｊ］．西南民族大学学报（自然科学版），２０１３，３９（１）：　２６－２９．　［１３］林屏峰，曾伟，曾纯一．集合Ａ上的半格ｒ确定的二元关系半群　Ｐ　（Ａ×Ａ）的幂等元［Ｊ］．山东大学学报（理学版），２０１３，４８（８）：　３６－４Ｏ．　［１４］林屏峰．集合Ａ上的半格ｒ确定的二元关系半群Ｐ　（Ａ×Ａ）的　不可分解元［Ｊ］．山东大学学报（理学版），２０１６，５１（２）：１２－１５．　［１５］ＢＩＲＫＨＯＦＦ　Ｇ．ＬａｔｔｉｃｅＴｈｅｏｒｙ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９６７．　（责任编辑：张阳，付强，李建忠，罗敏；英文编辑：周序林）