初三数学数与式复习华东师大版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 数与式复习

二. 重点、难点：

教学重点：实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。

教学过程： 知识点回顾： （一）实数

1. 实数的有关概念 [知识要点] （1）实数分类

正整数整数零负整数有理数 实数 分数正分数负分数无理数——无限不循环小数 实数还可以分为：正实数、零、负实数；有理数还可以分为：正有理数、零、负有理

数。解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。特别要注意0是自然数。 （2）数轴

数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。实数与数轴上的点是一一对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （3）绝对值

a(a0) 绝对值的代数意义：|a|0(a0)

a(a0) 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。 （5）三种非负数

2 |a|、a、a（a0）形式的数都表示非负数。“几个非负数的和（积）仍是非负数”

与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。 （6）平方根、算术平方根、立方根的概念 2. 实数的运算

[知识要点]

（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幂的运算。

（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。 （3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。

（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a10（其中1|a|10，n为整数）。

（5）实数大小的比较：两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。常用方法：①数轴图示法。②作差法。③平方法等。

（二）代数式

1. 代数式概念、运算以及简单应用 [知识要点]

（1）代数式的分类

n单项式整式有理式多项式 代数式 分式无理式 （2）各类代数式的概念

单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。

（3）代数式有意义的条件

分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零。

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。 由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。 （4）代数式的运算

整式的加、减、乘、除、乘方运算，整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算；二次根式的加、减、乘、除四则运算。 2. 代数式的恒等变形 [知识要点]

（1）添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。

（2）公式可正用、逆用、变用，因此公式可用于代数式恒等变形，特别是乘法公式，它是代数式恒等变形的重要工具。

（3）因式分解是多项式乘法的逆变形，常作为代数式恒等变形的工具使用。因式分解主要有两种基本方法：提取公因式法，运用公式法。要注意方法的灵活选取和综合运用。 （4）待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。 3. 代数式的化简求值 [知识要点]

（1）含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性。

（2）整式化简求值时要注意以下两点：①运用公式时，要从全局出发，有时要把某个

部分看成一个整体；②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。

（3）分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算。

（4）在给定字母的取值范围的情况下，对二次根式进行化简。

【典型例题】

例1. 已知x、y是实数，且满足（x4）2y10，求x+2y的值。 解：因为(x4)20，y10 又(x4)2y10 所以(x4)20，y10 所以x4，y1 所以x2y4216

说明：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y的值，从而问题可解。

例2. 2003年10月15日9时10分，我国“神舟”五号载人飞船准确进入预定轨道，16日5时59分，返回舱与推进舱分离，飞船返回地面，期间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行路程约为60万千米，用平常记数法表示，结果保留三位有效数字，则“神舟”五号飞船绕地球平均每圈约飞行（ ） A. 4.2810千米 C. 4.281千米

454

B. 4.2910千米 D. 4.2910千米

54 简析：60万千米600000千米，6000001442857，42857保留三位有效数字用科学记数法表示为4.2910。 解：选B。

说明：运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。

例3. 计算：

22121）（1）（）2（15.2） 3232221221 解：（）（1）（）（15.2）

323243419（）92924 （



431（1）9224（2）9

89 说明：进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序。注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运算结果的符号。

例4. 比较下列实数大小： （1）199与；（2）35与42 2814 解：（1）解1（作差法）：

199199210 28142828199 所以 2814199 因此

2814 因为 解2（作商法）：

19191419 因为281

92891814199 所以 2814199 因此

2814 （2）解1（平方法）：

22 因为（35）45，（43）48

又4548，350，430 所以3543

解2（比较被开方数法）： 因为35325 又4845 所以4845，4342348

45

因此4335

说明：比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。

例5. 分解因式：

（1）2（1x）6a（x1）； （2）16x（x4）； （3）xy8xy16y。

解：（1）2（1x）6a（x1）

232234222232（x1）2[13a（x1）]2（x1）（3ax3a1）2

（2）16x2（x24）2（4x）2（x24）2 （4xx4）（4xx4）

22（x24x4）（x24x4）（x2）2（x2）2（3）x2y28xy316y4

y2（x28xy16y2）y[x8xy（4y）]y2（x4y）2222

说明：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。分解因式一定要彻定。

1123，求x44的值。 xx11422 解：x4（x2）2

xx1[（x）22]22x22 [（23）2]2

例6. 已知x102298 说明：此题是反复运用完全平方公式，把x411变形为关于的代数式，从而xxx4使问题得解。这是条件求值问题的一个基本思路。

例7. 当x取何值时，下列分式有意义？分式的值等于零？

x23x2 （1）2

x2x3 简析：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零。

x23x2 （2）当分母x2x30，即x1且x3时，分式2有意义。

x2x32x3x201 解：根据题意，得2

x2x302 由1解得x1或x2

2 由2解得x1且x3

x23x2 所以，当x=2时，分式2的值等于零。

x2x3 说明：（1）讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论。

（2）讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。

（3）在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件。

例8. 实数a、b、c在数轴上对应的点分别是A、B、C，其位置如图所示。试化简：|c||cb||ac||ba|。

B C A 0 1

解：由图可知：a0，b0，c0，bc，|b||a|，|c||a| 所以|c|c，|cb|cb |ac|ac，|ba|ba

所以|c||cb||ac||ba| ccbacba

c 说明：这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而脱去绝对值的符号，又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。

例9. 化简：a26a9|a4|，其中3a4。 解：a26a9|a4|

（a3）2|a4||a3||a4| 因为3a4

|a3||a4| a34a

所以a26a9|a4|

1 说明：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质a2|a|化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号。

1a3a22a1 例10. 已知实数a满足aa20，求的值。 a1a21a24a32 解：由aa20，解得a11，a22

2 因为当a1时，a10，所以a1舍去

21a3a22a122 a1a1a4a31a3（a1）2a1（a1）（a1）（a3）（a1）1a1  2a1（a1）2（a1）222 当a2时，原式2（21） 说明：对于分式条件求值问题，要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。

例11. 现定义两种运算“”“”对任意两个整数a,b abab1，abab1 求4[（68）（35）]的值。 解：由abab1知6868113 由abab1知3535114

4[（68）（35）]4（1314）

4（13141）4264261103

例12. 请你将1，11111，，，，按一定规律排列如下： 23456 第1行 1

11 23111 第3行 

4561111 第4行 

7891011111 第5行 1112131415111111 第6行

161718192021 第2行  ……

则第20行第十个数是多少？

解：观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。 所以第19行最后一个数的分母为 123……19（119）19190

2 第20行第一个数就为

11，第20行第十个数就为 191200【模拟试题】（答题时间：30分钟） 22m 1. 已知a、b、m是实数4a4amm|m2b|b20，求(ab)的值。

2. 已知实数a、b、c（在数轴上的位置如图所示）

a c b -3 -2 -1 0 1 2 3 4 化简|2a2||cb||ab2| 3. 比较2

3与16的大小。

1212 4. 已知xy4，求xxyy的值。

22x211x(1)，其中x21。 5. 化简求值：

x1x22 6. 如果代数式4y2y5的值为7，则代数式2yy1的值是________。

14 7. 已知：x22x10，求x4的值。

x 8. 当1x2y，求a*b[b*(a)]。 xy110 10. 计算：(12)()2cos30

2 9. 定义新运算：x*y 11. 观察图和相应的等式，探究其中的规律：在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式。

12. 观察下列等式：

918，16412， 25916，

361620，…… 这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为__________________________。

13. 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n个图形中需用黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）。

…… （1） （2） （3） …… （n） 14. ab3

m3n与32abm是同类项，则mn_______________。

5 15. 因式分解： （1）x2y26x9 16. 已知a1a10，求(a1a)2的值。2）a35a2

（ 试题答案

1. 256

2. 3a2bc4 3. 2316 4. 8

5. 2x222 6. 2 7. 34 8. 2

2a23ab2b2 9. 22ab 10. 33

2 11. ④1357422⑤1357952

12. (n2)n4(n1) 13. 4n8 14. －1

15. （1）(x3y)(x3y) 16. 96

（2）a2(a5)