函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论

在已知条件或

中，

(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如，说明的图像具有对称性，其对称轴为。

(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如，说明 f（x）的图像具有周期性，其周期T=a+b。

设为非零常数,若对于定义域内的任意xx有下列条件之一成立

周期性规律对称性规律

(1)(1)

(2)(2)

(3)(3)

(4)(4)

(5)(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10) ,

(11) 若函数同时关于直线, 对称则函数的周期

(12) 若函数同时关于点, 对称,则函数的周期

(13) 若函数同时关于直线 对称,又关于点对称则函数的周期

(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=2

(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且T=4

(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0. ⒈ 若的图象关于

两类易混淆的函数问题：对称性与周期性

例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？

例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+5）= f（x－5），问：y= f（x）是周期

函数吗？它的图像是不是轴对称图形？

定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足，那么y= f（x）的图像关于直线对称。

证明：设点是y= f（x）的图像上任一点，点P关于直线x=a的对称点为Q，xx，点Q的坐标为。

因为点在y= f（x）的图像上，所以

于是

所以点也在y= f（x）的图像上。

由P点的任意性知，y= f（x）的图像关于直线x=a对称。

定理2：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线的对称。

定理3：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（x+a）= f（x－a），那么y= f（x）是以2a为周期的周期函数。

证明：令，则

代入已知条件

得：

根据周期函数的定义知，y= f（x）是以2a为周期的周期函数。

定理4：如果函数y= f（x）（x∈R）满足，那么y= f（x）是以为周期的周期函数。