已知函数f(x)=ax(x∈R),a>0,a≠1,g(x)=f-1(x),若f(x)与g(x)的交点的...
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当0＜a＜1时，函数f（x）=ax的图象与其反函数的图象显然有1个交点，且该交点在直线y=x上，
除该交点外，可以证明当0＜a＜e-e时，函数f（x）=ax的图象与其反函数的图象还有另外2个交点．
事实上：令g（x）=ax-logax（x＞0）．
则g′(x)=axlna-1xlna=xaxln2a-1xlna．
记h(x)=xaxln2a-1lna，则h（x）与g′（x）同号．
令h（x）=0，得x=-1lna．
当x∈(0，-1lna)时，h′（x）＜0
当x∈（-lna，+∞）时，h′（x）＞0．
∴当x=-1lna时函数h（x）有极小值-1e-1lna．
①令-1e-1lna＞0，即e-e＜a0，
g（x）在（0，+∞）上为增函数，∴e-e＜a＜1时，
y=ax与y=x的图象有1个交点；
令-1e-1lna＜0，又limx→0h(x)=-1lna＞0，limx→∞h(x)＞0．
∴方程h（x）=0，也就是g′（x）=0在区间(0，-1lna)，(-1lna，+∞)上各有一个根．
利用导数进一步证明0＜a＜e-e时函数g（x）=0有另外两根．
借助于几何画板可知：
当1＜a＜e1e时，函数f（x）=ax的图象与其反函数的图象有2个交点；
当a=e1e时，函数f（x）=ax的图象与其反函数的图象有1个交点；
当a＞e1e时，函数f（x）=ax的图象与其反函数的图象无交点．
∴M=3，N=0．
∴M+N=3．
故选B．
